Witam wszystkich i proszę o pomoc, siedzę od dłuższego czasu nad takim przykładem:
\(\displaystyle{ ln \frac{1+iz}{1-iz}=1}\)
Ma ktoś pomysł na rozwiązanie tego?
Równanie z logarytmem z liczby zespolonej
-
Poodzian
- Użytkownik
- Posty: 187
- Rejestracja: 11 paź 2007, o 20:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 62 razy
Równanie z logarytmem z liczby zespolonej
Wiadomo, że \(\displaystyle{ \ln e =1}\), zatem: \(\displaystyle{ \frac{1+iz}{1-iz}=e}\) z odpowiednimi założeniami
\(\displaystyle{ \frac{1+iz}{1-iz}-\frac{e(1-iz)}{1-iz}=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1+iz-e+eiz}{1-iz}=0}\)
Dalej licznik jako ten, zerujący ułamek: \(\displaystyle{ 1+iz-e+eiz=0}\)
\(\displaystyle{ z(i+ei)=e-1}\)
\(\displaystyle{ z=\frac{e-1}{i+ei}\cdot \frac{i-ei}{i-ei}=\frac{-e^2\cdot i+2ei-i}{e^2-1}=\frac{-i(e^2-2e+1)}{(e-1)(e+1)}=\frac{-i(e-1)^2}{(e-1)(e+1)}}\)
Ostatecznie: \(\displaystyle{ z=\frac{-i(e-1)}{e+1}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1+iz}{1-iz}-\frac{e(1-iz)}{1-iz}=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1+iz-e+eiz}{1-iz}=0}\)
Dalej licznik jako ten, zerujący ułamek: \(\displaystyle{ 1+iz-e+eiz=0}\)
\(\displaystyle{ z(i+ei)=e-1}\)
\(\displaystyle{ z=\frac{e-1}{i+ei}\cdot \frac{i-ei}{i-ei}=\frac{-e^2\cdot i+2ei-i}{e^2-1}=\frac{-i(e^2-2e+1)}{(e-1)(e+1)}=\frac{-i(e-1)^2}{(e-1)(e+1)}}\)
Ostatecznie: \(\displaystyle{ z=\frac{-i(e-1)}{e+1}}\)