Oblicz i narysuj na płaszczyźnie zespolonej

NetJaro · Post autor: **NetJaro** » 3 lis 2009, o 14:42

Witajcie.

Mam takie zadanie:

Oblicz i narysuj na płaszczyźnie zespolonej podany pierwiastek:
$\displaystyle{ \sqrt{-1+ \sqrt{3}i }}$

Bardzo prosze o pomoc.
Dzięki z góry

soku11 · Post autor: **soku11** » 3 lis 2009, o 16:07

$\displaystyle{ $\begin{eqnarray*}
\sqrt{-1+\sqrt{3}i}&=&z\\
z^2&=&-1+\sqrt{3}i\\
z^2&=&2\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\\
z^2&=&2\left(\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3})\\
z_k&=&\sqrt{2}\left( \cos \frac{\frac{2\pi}{3}+2k\pi}{2}+i\sin \frac{\frac{2\pi}{3}+2k\pi}{2}\right),\;k\in\{0,1\}\\
&\ldots&
\end{eqnarray*}}$

Pozdrawam.

NetJaro · Post autor: **NetJaro** » 3 lis 2009, o 16:36

Dzięki wielkie

Jednak jak to narysować?

soku11 · Post autor: **soku11** » 3 lis 2009, o 17:14

No masz już policzone dwa pierwiastki (no dobra - prawie, wystarczy podstawić). Jak je zaznaczyć - zamieniasz je na postać algebraiczną i zaznaczasz jak zwykły punkt w układzie kartezjańskim. Możesz ewentualnie poprowadzić proste z początku układu współrzędnych do tych punktów, by je ładnie wskazać (zaznaczyć kąty i promienie).

Pozdrawiam.

NetJaro · Post autor: **NetJaro** » 3 lis 2009, o 22:52

Pisząc o dwóch pierwiastkach, masz na myśli $\displaystyle{ z_{0}}$ oraz $\displaystyle{ z_{1}}$?

soku11 · Post autor: **soku11** » 3 lis 2009, o 23:13

Oczywiście Zresztą innych nie ma...

Pozdrawiam.

NetJaro · Post autor: **NetJaro** » 4 lis 2009, o 00:22

OK, chciałem się upewnić

jeszcze raz bardzo dziękuję.

I mam jeszcze jedno pytanko..

Wyszło mi:
$\displaystyle{ z_{0} = \frac{ \sqrt{2} + \sqrt{6} }{2}i}$
$\displaystyle{ z_{1} = \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{6} }{2}i}$

Mogę oczywiście podać wartość $\displaystyle{ z_{0}}$ i $\displaystyle{ z_{1}}$ w przybliżeniu, ale co zrobić z $\displaystyle{ i}$? Chyba powinienem to jakoś uwzględnić?

soku11 · Post autor: **soku11** » 4 lis 2009, o 17:07

No to zapisujesz teraz w postaci algebraicznej, np.:
$\displaystyle{ z_0=\sqrt{2}(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\\}$

Możesz oczywiście też zapisać w postaci trygonometrycznej (kąt z miejsca widać), to będziesz miał zamiast współrzędnych x,y - kąt i promień.

Samo umiejscowienie odbywa się na płaszczyźnie $\displaystyle{ \Re, \Im}$, więc x, oznacza oś poziomą, a y oś pionową (oczywiście w zależności od oznaczeń). Ogólnie spójrz na początek tej stronki. Tam jest zaznaczona liczba zespolona z postaci algebraicznej:

Pozdrawiam.