Jaką figurę geometryczną przedstawia ta liczba zespolona?

[model3100]

Witam, potrzebuje pomocy w 3 przykładach, gdyż nie mogę ustalić co za figurę geometryczną one przedstawiają. Są to 3 ostatnie przykłady z zadania, reszta przedstawiała koło, okrąg, wnętrze, zewnętrze koła i prostą.

Polecenie do zadania brzmi:

Jaką figurę geometryczną przedstawia zbiór liczb zespolonych spełniających warunek:

1). \(\displaystyle{ |1+z|<|1-z|}\)

2). \(\displaystyle{ Re\frac{1}{z}=\frac{1}{3}}\)

3). \(\displaystyle{ Im\frac{z-1}{z+1}=0}\)



W przykładzie 2 wychodzi mi \(\displaystyle{ 3x=x^{2}+y^{2}}\) czyli mam rozumieć że to jest równie okręgu o \(\displaystyle{ S(0;0) \ i \ r=\sqrt{3x}}\) czy to jest dobry tok rozumowania?

1 i 3 jakoś nie umiem rozwiązać i prosiłbym o pomoc.

[soku11]

2. Jedno pytanie - jak sobie wyobrażasz okrąg o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{3x}}\)? Przecież to jest bez sensu Powinieneś wiedzieć, że promień okręgu musi być stały, by można było mówić o okręgu. I rzeczywiście, to co ci wyszło to okrąg. Pytanie jaki?
\(\displaystyle{ $\begin{eqnarray*}
3x&=&x^2+y^2\\
x^2+y^2-3x&=&0\\
\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}+y^2&=&0\\
\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+y^2&=&\frac{9}{4}
\end{eqnarray*}}\)

Czyli jest to okrąg o środku \(\displaystyle{ S=\left(\frac{3}{2};0\right)}\) i promieniu \(\displaystyle{ r=\frac{3}{2}}\).

1.
\(\displaystyle{ $\begin{eqnarray*}
z & =& x+iy\\
|1+z| &<&|1-z|\\
|1+x+iy| &<&|1-x-iy|\\
|(x+1)+iy| &<&|(1-x)+i(-y)|\\
\sqrt{(x+1)^2+y^2} &<& \sqrt{(1-x)^2+y^2}\\
&\ldots&
\end{eqnarray}}\)

3. Również podstaw \(\displaystyle{ z=x+iy}\).


Pozdrawiam.

[model3100]

Dziękuję bardzo za pomoc w rozwiązaniu tego 2, za nic w świecie bym nie odkrył że to trzeba ze wzoru skróconego mnożenia.

W 1 dalej nie wiem co zrobić ostatnią postać podnoszę do kwadratu i otrzymuję:

\(\displaystyle{ (x+1)^2+y^2} \<\ {(1-x)^2+y^2}}\)

i dalej nie widzę jestem dalej w martwym punkcie czy mógłby ktoś przedstawić rozwiązanie do końca?

w 3 podstawiam \(\displaystyle{ z=x+iy}\) dalej mnożę przez liczbę sprzężoną mianownika otrzymuje tak jakby całą postać liczby \(\displaystyle{ \frac{z-1}{z+1}}\) z tego wyłuskuje postać urojoną przyrównuje do zera i wychodzi mi coś takiego:

\(\displaystyle{ 2y=0 => y=0}\) czyli mam rozumieć że rozwiązaniem jest ta prosta czy coś pokiełbasiłem?


Dziękuję za rzeczową pomoc bo szczerze to nie umiem wybrnąć z tych przykładów, w ogóle nie widzę rozwiązania. Byłbym wdzięczny za ukazanie całego toku rozumowania osoby która wie jak to rozwiązać.

[soku11]

Ad. 2. Rzeczywiście bardzo trudną sztuką jest trochę pokombinować
\(\displaystyle{ (x+1)^2+y^2 < (1-x)^2+y^2\\
x^2+2x+1 < 1-2x+x^2\\
4x < 0\\
x<0}\)

3. Jeśli dobrze rozwiązałeś, to tak - będzie to prosta. A konkretnie, to wszystkie liczby rzeczywiste bez części urojonej.

Pozdrawiam.

[model3100]

soku11 jestem Ci niezmiernie wdzięczny za pomoc. Mam jeszcze jedną prośbę, mógłbyś chwilkę poświęcić rozpisać ten przykład 3 i sprawdzić czy dobrze rozwiązałem? To bardzo ważne dla mnie gdyż w co prawda w poniedziałek czeka mnie kartkówka ale bym wolał wcześniej wiedzieć co jest grane i czy dobrze mam rozwiązane wszystkie przykłady.

Jeszcze raz wielkie dzięki.

[soku11]

Mam chwilę czasu, to mogę rozpisać:
\(\displaystyle{ $ \begin{eqnarray*}
\Im \left(\frac{z-1}{z+1}\right) &=& 0\\
z &\neq& -1\\
\Im \left(\frac{x+iy-1}{x+iy+1}\right) &=& 0\\
\Im \left(\frac{(x-1)+iy}{(x+1)+iy}\right) &=& 0\\
\Im \left(\frac{[(x-1)+iy][(x+1)-iy]}{[(x+1)+iy][(x+1)-iy]}\right) &=& 0\\
\Im \left(\frac{x^2-1 -iy(x-1)+iy(x+1)+y^2}{(x+1)^2+y^2}\right) &=& 0\\
\Im \left(\frac{x^2+y^2-1+2iy}{(x+1)^2+y^2}\right) &=& 0\\
\Im \left(\frac{x^2+y^2-1}{(x+1)^2+y^2}+i\frac{2y}{(x+1)^2+y^2}\right) &=& 0\\
\frac{2y}{(x+1)^2+y^2} &=& 0\\
\end{eqnarray*}}\)

Czyli masz dobrze rozwiązane Oczywiście należy wykluczyć punkt \(\displaystyle{ z=-1}\).
Pozdrawiam.

[model3100]

Dzięki WIELKIE