znajac niektore pierwiastki...

[Daria4543]

znajac niektore pierwiastki podanych wielomianow
rzeczywistych znalezc ich pozostałe pierwiastki
\(\displaystyle{ x^{6}-2x^{5}+5x^{4}-6x^{3}+8x^{2}-4x+4=}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=i}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=-\sqrt{2}i}\)

[Baca48]

Skoro x1 i x2 są pierwiastkami tego równania, to jego pierwiastkami są także liczby do nich sprzężone.

Stąd mamy:

\(\displaystyle{ x_3 = -i}\)

\(\displaystyle{ x_4 = \sqrt{2}i}\)

Dzieląc wielomian \(\displaystyle{ x^{6}-2x^{5}+5x^{4}-6x^{3}+8x^{2}-4x+4}\) przez \(\displaystyle{ (x-i)(x+i)(x-\sqrt{2}i)(x+\sqrt{2}i)}\) otrzymujemy: \(\displaystyle{ x^2-2x+2}\)

Obliczamy deltę:

\(\displaystyle{ \Delta = 4-8 = -4 = 4i^2}\)

\(\displaystyle{ \Delta = \pm 2i}\)

\(\displaystyle{ x_5 = \frac{2 + 2i}{2} = 1+i}\)

\(\displaystyle{ x_6 = \frac{2-2i}{2} = 1-i}\)

Podsumowując, pierwiastkami tego równania są:

\(\displaystyle{ x \in \{ i, -i, \sqrt{2}i, -\sqrt{2}i, 1+i, 1-i \}}\)

Pozdrawiam

[Daria4543]

wielkie dzięki i!!! -- 1 lis 2009, o 13:58 --jak został podzielony wielomian? jak to rozpisać ?

[Baca48]

Najłatwiej chyba jest wymnożyć wpierw nawiasy w tym drugim wielomianie. Otrzymamy wówczas:

\(\displaystyle{ (x-i)(x+i)(x-\sqrt{2}i)(x+\sqrt{2}i) = (x^2 + 1)(x^2 + 2) = x^4+3x^2+2}\)

No i następnie pozostaje nam pisemne dzielenie wielomianów

[Daria4543]

aha, dziękuję bardzo -- 1 lis 2009, o 14:52 --a w tym zadaniu:
\(\displaystyle{ x^{4}-6x^{3}+18x^{2}-30x+25=}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=2+i}\)
mamy

\(\displaystyle{ x_{2}=-2-i}\)
czyli
\(\displaystyle{ (x-2-i)(x+2+i)=x^2-(2+i)^2=}\) ?

[Baca48]

Zauważ tylko, że sprzężenie do liczby \(\displaystyle{ z = a + bi}\) to \(\displaystyle{ \overline{z} = a - bi}\)

Tak więc \(\displaystyle{ x_2 = 2 - i}\)

To co Ty napisałaś, to byłaby liczba przeciwna do x1.

No i dalej dzielimy przez \(\displaystyle{ (x - 2 - i)(x-2 + i) = x^2-4x+5}\)

Dalej już chyba jasne

[NetJaro]

Witajcie.

Wybaczcie, że odkopuję ale mam ten sam przykład i mam pytanie..

\(\displaystyle{ (x - 2 - i)(x-2 + i) = x^2-4x+5}\)

Co tutaj się dzieje z \(\displaystyle{ i}\)?
Po wymnożeniu tego wychodzi
\(\displaystyle{ x^2-4x+4-i}\)

[Rzemyk]

nie wyjdzie \(\displaystyle{ x^2-4x+4-i}\) tylko \(\displaystyle{ x^2-4x+4-i^2}\) gdzie \(\displaystyle{ i^2=-1}\) wiec \(\displaystyle{ x^2-4x+4-(-1)}\) da nam \(\displaystyle{ x^2-4x+5}\)