rownanie zespolone nr 2

[sesese]

\(\displaystyle{ z ^{8}- ( \sqrt{3} +i)^{8}}\) robie tak
1...

\(\displaystyle{ z= \sqrt{3}+i}\) skad \(\displaystyle{ |z|=2 , \phi= \frac{\pi}{3}}\) podnosze do 8 postac trygonometryczna.
\(\displaystyle{ 2 ^{8}(cos \frac{8\pi}{3} +isin \frac{8\pi}{3}=\\
2 ^{8}(cos \frac{2\pi}{3} +isin \frac{2\pi}{3}=\\
2 ^{8}(cos (\pi-\frac{2\pi}{3}) +isin (\pi-\frac{2\pi}{3})\\
2 ^{8}(-cos \frac{\pi}{3} +isin \frac{\pi}{3}\\
-128+i128 \sqrt{3}}\) DOBRZE ??

2....

\(\displaystyle{ \sqrt[8]{z} = \sqrt[8]{-128+128 \sqrt{3} i}}\)
skad \(\displaystyle{ |z|=256,phi = frac{2pi}{3} \
z_{0} = sqrt[8]{256} [cos (frac{2pi}{3} cdot frac{1}{8} )+isin(frac{2pi}{3} cdot frac{1}{8})\
z_{0} =2(cos frac{1pi}{12}\}\)


no i wiadomo o co chodzi ?? jak to rozwiazac
moze zle robie od poczatku do konca

prosze o pomoc

[soku11]

No to może od początku:
1. To nie jest równanie. Czy miało być:
\(\displaystyle{ z^8-(\sqrt{3}+i)^8=0}\)
?

2. Konflikt oznaczeń. Powinieneś nazwać liczbę w nawiasie np. w.
3. Źle wyliczony kąt. Powinien on wynosić \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\).
4. Po co się bawisz z zamienianiem na postać algebraiczną, by potem znów liczyć i zamieniać na postać trygonometryczną? Pozostaw tak

Pozdrawiam.

[sesese]

1. masz racje
2. A czy gdy \(\displaystyle{ z ^{8} =(w) ^{8}}\) to czasem nie moge \(\displaystyle{ w}\)nazwac\(\displaystyle{ z}\) ?
3. o boze masz racje
4. A bo nic mi cikawego nie wyszlo to kombinowalem dalej cos nie ogarniam tego jeszcze dobrze hehe


dzieki za odpowiedz

-- 31 października 2009, 19:52 --

\(\displaystyle{ z= \sqrt{3}+i}\) skad \(\displaystyle{ |z|=2 , \phi= \frac{\pi}{6}}\) podnosze do 8 postac trygonometryczna.
\(\displaystyle{ 2 ^{8}(cos \frac{8\pi}{6} +isin \frac{8\pi}{6})=\\
2 ^{8}[cos (\frac{4\pi}{3}) +isin (\frac{4\pi}{3})]=\\
2 ^{8}[cos (\pi-\frac{4\pi}{3}) +isin (\pi-\frac{4\pi}{3})]\\
2 ^{8}[-cos (-\frac{\pi}{3} })+isin (- \frac{\pi}{3})]\\
-128-i128 \sqrt{3}\\}\)

DOBRZE ?? jesli tak to co dalej ma yjsc 8 pierwiastkow a ja nie wiem co dalej mam z tym zrobic-- 1 listopada 2009, 00:06 --a i jeszcze jedno \(\displaystyle{ |z|= \sqrt{ \sqrt{3} ^{2} +1 ^{2} } ArcTg( \sqrt{ \frac{ \sqrt{3} }{1} } = \frac{\pi}{3}}\)co oznacza ze \(\displaystyle{ \phi = \frac{\pi}{3}}\) ale liczac \(\displaystyle{ 2cos\phi= \sqrt{3}}\) i \(\displaystyle{ 2sin\phi=1}\) wychodzi \(\displaystyle{ \phi= \frac{\pi}{6}}\) ?????????? czemu

[soku11]

Sprawdź w tablicach, że:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
\cos \varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}\\
\sin \varphi=\frac{1}{2}
\end{cases}\;\;\Rightarrow\;\; \varphi=\frac{\pi}{6}}\)

Co do samego problemu, to masz uzyskać 8 pierwiastków. Robisz to tak:
\(\displaystyle{ $\begin{eqnarray*}
z^8 &=& (\sqrt{3}+i)^8\\
z^8 &=& 2^8\left(\cos \frac{4\pi}{3}+i\sin \frac{4\pi}{3}\right)\\
z_k &=& 2\left( \cos \frac{\frac{4\pi}{3}+2k\pi}{8}+i\sin\frac{\frac{4\pi}{3}+2k\pi}{8}\right)\; k\in\{0,1,2,..,6\}
\end{eqnarray*}}\)

Pozdrawiam.

[sesese]

aaa dobre dzieki za rowiazanie

ale mam jeszcze pytanko wiesz na wikipedi jest schemat wyznaczania liczby \(\displaystyle{ \phi}\) i zniego wychodzi mi inaczej wiec moze jest on falszywy.


tu jest ten schemat wyrwany z kontekstu innego zadania:

Jeżeli \(\displaystyle{ z = x +iy}\) to:
\(\displaystyle{ \varphi = \arctan \frac{y}{x}}\)
to jest dobry wzór ale trzeba wiedzieć czy trzeba do niego coś dodawać lub odjąć i co się dzieje gdy x=0. W sumie 6 przypadków (w teorii obwodów używa się najczęściej pierwszego przypadku).

ale dla podanego przykładu:
1)\(\displaystyle{ \varphi = \arctan \frac{8 \sqrt{3}}{-8} = - \frac{1}{3} \pi}\)
2)\(\displaystyle{ \varphi = \arctan \frac{8 \sqrt{3}}{-8} + \pi = - \frac{1}{3} \pi + \pi = \frac{2\pi}{3}}\)
3)\(\displaystyle{ \varphi = \arctan \frac{8 \sqrt{3}}{-8} - \pi = - \frac{1}{3} \pi - \pi = - \frac{4\pi}{3}}\)

Jak rozpoznać, która odpowiedź jest prawdziwa ?
1) Jeżeli część rzeczywista jest dodatnia to korzystamy z pierwszego wzoru.
2) Jeżeli część rzeczywista jest ujemna, a urojona dodatnia lub 0 to korzystamy z drugiego wzoru.
3) Jeżeli część rzeczywista jest ujemna i urojonowa też ujemna to korzystamy z trzeciego wzoru.

Najgorzej jest dla x = 0 bo kalkulator ci tego nie policzy. Ale jeżeli
4) \(\displaystyle{ \Re z = 0 \wedge \Im z > 0 \Rightarrow \varphi = \frac{\pi}{2}}\)
5) \(\displaystyle{ \Re z = 0 \wedge \Im z < 0 \Rightarrow \varphi = \frac{3\pi}{2}}\)
6) Jeżeli z = 0 + j0 to nie można określić kąta. (chyba oczywiste :>)

np:
\(\displaystyle{ z = 5i = 5e^{i \frac{\pi}{2} }}\)
\(\displaystyle{ z = -2i = 2e^{i \frac{- \pi}{2} } = 2e^{i \frac{3 \pi}{2} }}\)

Dowiedziałem się tego na teorii obwodów (zamiast na matematyce) gdzie trzeba umieć bardzo szybko przechodzić z postaci algebraicznej do wykładniczej. Na matematyce to się pół godziny przechodziło z algebraicznej do trygonometrycznej, żeby potem przejść do wykładniczej :/

Jeżeli Arg z = \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{2}}\) to \(\displaystyle{ z = 16e^{i \frac{3\pi}{2} } = -16i}\) więc książka kłamie.

Jeszcze bardzo ważna rzecz: moduł jest zawsze dodatni (tak samo jak promień)

[Maciej87]

Szkoda że nie miałem okazji wziąć udziału w dyskusji, bo nie mogę się oprzeć chęci wygłoszenia złośliwej uwagi, że wyznaczanie kąta w zależności od ćwiartek było w liceum, i nie trzeba na to teorii obwodów.
Ale pod tym że liczby zespolone nauczane są kiepsko, oczywiście się podpisuję.

[miodzio1988]

Ale pod tym że liczby zespolone nauczane są kiepsko, oczywiście się podpisuję.

To zalezy oczywiście od uczelni chłopie.

Szkoda że nie miałem okazji wziąść udziału w dyskusji

A język polski dobrze jest uczony w szkole?;]

Sposob na liczby zespolone to nauczyć się wzorów redukcyjnych i już.I nie ma co narzekac tylko trzeba to zrobić.

[sesese]

dobra ale fakt faktem szybciej sie liczy z teori obwodow ale jakos w tym wypadku cos nie wychodzi.

A swoja droga bylem w zaocznym liceum pracujac w irlandi i przyjezdzajc na koniec roku z referatami i pieniedzmi tak zdalem liceum takze nie wszystko umiem

[Maciej87]

I ten sposób, choć oczywisty, wygląda nawet trochę bardziej elegancko niż układ.

No ale nie ograniczajmy liczb zespolonych do rachunków na wzorach redukcyjnych.
Siedzę na tym forum od jakiegoś czasu, i kiedy mamy rzeczywisty problem z liczbami zespolonymi- typu wyznacz obszar na płaszczyźnie- to gro osób proponuje zawiłe rachunki, zupełnie jakbyśmy nie pracowali z liczbami zespolonymi. Z kolei de Moivre i przechodzenie od jednej formy do innej obcykany jest do perfekcji.
Stąd wniosek że uczone są wzorki a nie własności.

PS: rzeczywiście zdarzył się ort, za co przepraszam.

[sesese]

1) Jeżeli część rzeczywista jest dodatnia to korzystamy z pierwszego wzoru.

\(\displaystyle{ \sqrt{a ^{2} +b ^{2} }}\) wzor 1: \(\displaystyle{ ArcTg( \frac{a}{b}) ==>\\}\)
\(\displaystyle{ z ^{8}- ( \sqrt{3} +i)^{8}}\) CO Z TYM ?

\(\displaystyle{ ArcTg( \sqrt{3} )= \frac{\pi}{3}}\)



przeciez mialo byc \(\displaystyle{ \frac{\pi }{6}}\)

[Maciej87]

1) Jeżeli część rzeczywista jest dodatnia to korzystamy z pierwszego wzoru.

wzor 1: \(\displaystyle{ ArcTg( \frac{a}{b}) ==>\\}\)

przeciez mialo byc \(\displaystyle{ \frac{\pi }{6}}\)

No bo pomyliłeś ułamek
dla \(\displaystyle{ z=a+bi = |z|e^{i\phi}}\) mamy
\(\displaystyle{ \tan \phi = \frac{b}{a}}\), a nie \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\)

[sesese]

tak zle sobie na kartce wzor przepisalem z tad zamieszanie dzieki

[Maciej87]

Najlepiej powyprowadzaj sobie ten wzorek, to to się już nigdy Ci nie zdarzy.

[soku11]

@Maciej87:
Sam przy zadaniach typu wyznacz obszar stosuję metodę rozpisania, a nie korzystania z własności. I to z prostego powodu - więcej prostych rachunków jest łatwiejsze do wytłumaczenia, niż skorzystanie z jakiejś własności. Po prostu nie chcę, by po wpisaniu mojego posta pojawił się kolejny - "ale skąd to się wzięło?". Głupio tak w kółko to samo pisać

Pozdrawiam.