rownanie zespolone nr 2
- sesese
- Użytkownik
- Posty: 373
- Rejestracja: 5 lip 2008, o 23:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 3 razy
rownanie zespolone nr 2
\(\displaystyle{ z ^{8}- ( \sqrt{3} +i)^{8}}\) robie tak
1...
\(\displaystyle{ z= \sqrt{3}+i}\) skad \(\displaystyle{ |z|=2 , \phi= \frac{\pi}{3}}\) podnosze do 8 postac trygonometryczna.
\(\displaystyle{ 2 ^{8}(cos \frac{8\pi}{3} +isin \frac{8\pi}{3}=\\
2 ^{8}(cos \frac{2\pi}{3} +isin \frac{2\pi}{3}=\\
2 ^{8}(cos (\pi-\frac{2\pi}{3}) +isin (\pi-\frac{2\pi}{3})\\
2 ^{8}(-cos \frac{\pi}{3} +isin \frac{\pi}{3}\\
-128+i128 \sqrt{3}}\) DOBRZE ??
2....
\(\displaystyle{ \sqrt[8]{z} = \sqrt[8]{-128+128 \sqrt{3} i}}\)
skad \(\displaystyle{ |z|=256,phi = frac{2pi}{3} \
z_{0} = sqrt[8]{256} [cos (frac{2pi}{3} cdot frac{1}{8} )+isin(frac{2pi}{3} cdot frac{1}{8})\
z_{0} =2(cos frac{1pi}{12}\}\)
no i wiadomo o co chodzi ?? jak to rozwiazac
moze zle robie od poczatku do konca
prosze o pomoc
1...
\(\displaystyle{ z= \sqrt{3}+i}\) skad \(\displaystyle{ |z|=2 , \phi= \frac{\pi}{3}}\) podnosze do 8 postac trygonometryczna.
\(\displaystyle{ 2 ^{8}(cos \frac{8\pi}{3} +isin \frac{8\pi}{3}=\\
2 ^{8}(cos \frac{2\pi}{3} +isin \frac{2\pi}{3}=\\
2 ^{8}(cos (\pi-\frac{2\pi}{3}) +isin (\pi-\frac{2\pi}{3})\\
2 ^{8}(-cos \frac{\pi}{3} +isin \frac{\pi}{3}\\
-128+i128 \sqrt{3}}\) DOBRZE ??
2....
\(\displaystyle{ \sqrt[8]{z} = \sqrt[8]{-128+128 \sqrt{3} i}}\)
skad \(\displaystyle{ |z|=256,phi = frac{2pi}{3} \
z_{0} = sqrt[8]{256} [cos (frac{2pi}{3} cdot frac{1}{8} )+isin(frac{2pi}{3} cdot frac{1}{8})\
z_{0} =2(cos frac{1pi}{12}\}\)
no i wiadomo o co chodzi ?? jak to rozwiazac
moze zle robie od poczatku do konca
prosze o pomoc
-
- Użytkownik
- Posty: 6607
- Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 1823 razy
rownanie zespolone nr 2
No to może od początku:
1. To nie jest równanie. Czy miało być:
\(\displaystyle{ z^8-(\sqrt{3}+i)^8=0}\)
?
2. Konflikt oznaczeń. Powinieneś nazwać liczbę w nawiasie np. w.
3. Źle wyliczony kąt. Powinien on wynosić \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\).
4. Po co się bawisz z zamienianiem na postać algebraiczną, by potem znów liczyć i zamieniać na postać trygonometryczną? Pozostaw tak
Pozdrawiam.
1. To nie jest równanie. Czy miało być:
\(\displaystyle{ z^8-(\sqrt{3}+i)^8=0}\)
?
2. Konflikt oznaczeń. Powinieneś nazwać liczbę w nawiasie np. w.
3. Źle wyliczony kąt. Powinien on wynosić \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\).
4. Po co się bawisz z zamienianiem na postać algebraiczną, by potem znów liczyć i zamieniać na postać trygonometryczną? Pozostaw tak
Pozdrawiam.
- sesese
- Użytkownik
- Posty: 373
- Rejestracja: 5 lip 2008, o 23:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 3 razy
rownanie zespolone nr 2
1. masz racje
2. A czy gdy \(\displaystyle{ z ^{8} =(w) ^{8}}\) to czasem nie moge \(\displaystyle{ w}\)nazwac\(\displaystyle{ z}\) ?
3. o boze masz racje
4. A bo nic mi cikawego nie wyszlo to kombinowalem dalej cos nie ogarniam tego jeszcze dobrze hehe
dzieki za odpowiedz
-- 31 października 2009, 19:52 --
\(\displaystyle{ z= \sqrt{3}+i}\) skad \(\displaystyle{ |z|=2 , \phi= \frac{\pi}{6}}\) podnosze do 8 postac trygonometryczna.
\(\displaystyle{ 2 ^{8}(cos \frac{8\pi}{6} +isin \frac{8\pi}{6})=\\
2 ^{8}[cos (\frac{4\pi}{3}) +isin (\frac{4\pi}{3})]=\\
2 ^{8}[cos (\pi-\frac{4\pi}{3}) +isin (\pi-\frac{4\pi}{3})]\\
2 ^{8}[-cos (-\frac{\pi}{3} })+isin (- \frac{\pi}{3})]\\
-128-i128 \sqrt{3}\\}\)
DOBRZE ?? jesli tak to co dalej ma yjsc 8 pierwiastkow a ja nie wiem co dalej mam z tym zrobic-- 1 listopada 2009, 00:06 --a i jeszcze jedno \(\displaystyle{ |z|= \sqrt{ \sqrt{3} ^{2} +1 ^{2} } ArcTg( \sqrt{ \frac{ \sqrt{3} }{1} } = \frac{\pi}{3}}\)co oznacza ze \(\displaystyle{ \phi = \frac{\pi}{3}}\) ale liczac \(\displaystyle{ 2cos\phi= \sqrt{3}}\) i \(\displaystyle{ 2sin\phi=1}\) wychodzi \(\displaystyle{ \phi= \frac{\pi}{6}}\) ?????????? czemu
2. A czy gdy \(\displaystyle{ z ^{8} =(w) ^{8}}\) to czasem nie moge \(\displaystyle{ w}\)nazwac\(\displaystyle{ z}\) ?
3. o boze masz racje
4. A bo nic mi cikawego nie wyszlo to kombinowalem dalej cos nie ogarniam tego jeszcze dobrze hehe
dzieki za odpowiedz
-- 31 października 2009, 19:52 --
\(\displaystyle{ z= \sqrt{3}+i}\) skad \(\displaystyle{ |z|=2 , \phi= \frac{\pi}{6}}\) podnosze do 8 postac trygonometryczna.
\(\displaystyle{ 2 ^{8}(cos \frac{8\pi}{6} +isin \frac{8\pi}{6})=\\
2 ^{8}[cos (\frac{4\pi}{3}) +isin (\frac{4\pi}{3})]=\\
2 ^{8}[cos (\pi-\frac{4\pi}{3}) +isin (\pi-\frac{4\pi}{3})]\\
2 ^{8}[-cos (-\frac{\pi}{3} })+isin (- \frac{\pi}{3})]\\
-128-i128 \sqrt{3}\\}\)
DOBRZE ?? jesli tak to co dalej ma yjsc 8 pierwiastkow a ja nie wiem co dalej mam z tym zrobic-- 1 listopada 2009, 00:06 --a i jeszcze jedno \(\displaystyle{ |z|= \sqrt{ \sqrt{3} ^{2} +1 ^{2} } ArcTg( \sqrt{ \frac{ \sqrt{3} }{1} } = \frac{\pi}{3}}\)co oznacza ze \(\displaystyle{ \phi = \frac{\pi}{3}}\) ale liczac \(\displaystyle{ 2cos\phi= \sqrt{3}}\) i \(\displaystyle{ 2sin\phi=1}\) wychodzi \(\displaystyle{ \phi= \frac{\pi}{6}}\) ?????????? czemu
-
- Użytkownik
- Posty: 6607
- Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 1823 razy
rownanie zespolone nr 2
Sprawdź w tablicach, że:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
\cos \varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}\\
\sin \varphi=\frac{1}{2}
\end{cases}\;\;\Rightarrow\;\; \varphi=\frac{\pi}{6}}\)
Co do samego problemu, to masz uzyskać 8 pierwiastków. Robisz to tak:
\(\displaystyle{ $\begin{eqnarray*}
z^8 &=& (\sqrt{3}+i)^8\\
z^8 &=& 2^8\left(\cos \frac{4\pi}{3}+i\sin \frac{4\pi}{3}\right)\\
z_k &=& 2\left( \cos \frac{\frac{4\pi}{3}+2k\pi}{8}+i\sin\frac{\frac{4\pi}{3}+2k\pi}{8}\right)\; k\in\{0,1,2,..,6\}
\end{eqnarray*}}\)
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ \begin{cases}
\cos \varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}\\
\sin \varphi=\frac{1}{2}
\end{cases}\;\;\Rightarrow\;\; \varphi=\frac{\pi}{6}}\)
Co do samego problemu, to masz uzyskać 8 pierwiastków. Robisz to tak:
\(\displaystyle{ $\begin{eqnarray*}
z^8 &=& (\sqrt{3}+i)^8\\
z^8 &=& 2^8\left(\cos \frac{4\pi}{3}+i\sin \frac{4\pi}{3}\right)\\
z_k &=& 2\left( \cos \frac{\frac{4\pi}{3}+2k\pi}{8}+i\sin\frac{\frac{4\pi}{3}+2k\pi}{8}\right)\; k\in\{0,1,2,..,6\}
\end{eqnarray*}}\)
Pozdrawiam.
Ostatnio zmieniony 1 lis 2009, o 13:21 przez soku11, łącznie zmieniany 1 raz.
- sesese
- Użytkownik
- Posty: 373
- Rejestracja: 5 lip 2008, o 23:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 3 razy
rownanie zespolone nr 2
aaa dobre dzieki za rowiazanie
ale mam jeszcze pytanko wiesz na wikipedi jest schemat wyznaczania liczby \(\displaystyle{ \phi}\) i zniego wychodzi mi inaczej wiec moze jest on falszywy.
tu jest ten schemat wyrwany z kontekstu innego zadania:
ale mam jeszcze pytanko wiesz na wikipedi jest schemat wyznaczania liczby \(\displaystyle{ \phi}\) i zniego wychodzi mi inaczej wiec moze jest on falszywy.
tu jest ten schemat wyrwany z kontekstu innego zadania:
skupiony pisze:Jeżeli \(\displaystyle{ z = x +iy}\) to:
\(\displaystyle{ \varphi = \arctan \frac{y}{x}}\)
to jest dobry wzór ale trzeba wiedzieć czy trzeba do niego coś dodawać lub odjąć i co się dzieje gdy x=0. W sumie 6 przypadków (w teorii obwodów używa się najczęściej pierwszego przypadku).
ale dla podanego przykładu:
1)\(\displaystyle{ \varphi = \arctan \frac{8 \sqrt{3}}{-8} = - \frac{1}{3} \pi}\)
2)\(\displaystyle{ \varphi = \arctan \frac{8 \sqrt{3}}{-8} + \pi = - \frac{1}{3} \pi + \pi = \frac{2\pi}{3}}\)
3)\(\displaystyle{ \varphi = \arctan \frac{8 \sqrt{3}}{-8} - \pi = - \frac{1}{3} \pi - \pi = - \frac{4\pi}{3}}\)
Jak rozpoznać, która odpowiedź jest prawdziwa ?
1) Jeżeli część rzeczywista jest dodatnia to korzystamy z pierwszego wzoru.
2) Jeżeli część rzeczywista jest ujemna, a urojona dodatnia lub 0 to korzystamy z drugiego wzoru.
3) Jeżeli część rzeczywista jest ujemna i urojonowa też ujemna to korzystamy z trzeciego wzoru.
Najgorzej jest dla x = 0 bo kalkulator ci tego nie policzy. Ale jeżeli
4) \(\displaystyle{ \Re z = 0 \wedge \Im z > 0 \Rightarrow \varphi = \frac{\pi}{2}}\)
5) \(\displaystyle{ \Re z = 0 \wedge \Im z < 0 \Rightarrow \varphi = \frac{3\pi}{2}}\)
6) Jeżeli z = 0 + j0 to nie można określić kąta. (chyba oczywiste :>)
np:
\(\displaystyle{ z = 5i = 5e^{i \frac{\pi}{2} }}\)
\(\displaystyle{ z = -2i = 2e^{i \frac{- \pi}{2} } = 2e^{i \frac{3 \pi}{2} }}\)
Dowiedziałem się tego na teorii obwodów (zamiast na matematyce) gdzie trzeba umieć bardzo szybko przechodzić z postaci algebraicznej do wykładniczej. Na matematyce to się pół godziny przechodziło z algebraicznej do trygonometrycznej, żeby potem przejść do wykładniczej :/
Jeżeli Arg z = \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{2}}\) to \(\displaystyle{ z = 16e^{i \frac{3\pi}{2} } = -16i}\) więc książka kłamie.
Jeszcze bardzo ważna rzecz: moduł jest zawsze dodatni (tak samo jak promień)
- Maciej87
- Użytkownik
- Posty: 377
- Rejestracja: 26 sty 2009, o 09:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 46 razy
rownanie zespolone nr 2
Szkoda że nie miałem okazji wziąć udziału w dyskusji, bo nie mogę się oprzeć chęci wygłoszenia złośliwej uwagi, że wyznaczanie kąta w zależności od ćwiartek było w liceum, i nie trzeba na to teorii obwodów.
Ale pod tym że liczby zespolone nauczane są kiepsko, oczywiście się podpisuję.
Ale pod tym że liczby zespolone nauczane są kiepsko, oczywiście się podpisuję.
rownanie zespolone nr 2
To zalezy oczywiście od uczelni chłopie.Ale pod tym że liczby zespolone nauczane są kiepsko, oczywiście się podpisuję.
A język polski dobrze jest uczony w szkole?;]Szkoda że nie miałem okazji wziąść udziału w dyskusji
Sposob na liczby zespolone to nauczyć się wzorów redukcyjnych i już.I nie ma co narzekac tylko trzeba to zrobić.
- sesese
- Użytkownik
- Posty: 373
- Rejestracja: 5 lip 2008, o 23:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 3 razy
rownanie zespolone nr 2
dobra ale fakt faktem szybciej sie liczy z teori obwodow ale jakos w tym wypadku cos nie wychodzi.
A swoja droga bylem w zaocznym liceum pracujac w irlandi i przyjezdzajc na koniec roku z referatami i pieniedzmi tak zdalem liceum takze nie wszystko umiem
A swoja droga bylem w zaocznym liceum pracujac w irlandi i przyjezdzajc na koniec roku z referatami i pieniedzmi tak zdalem liceum takze nie wszystko umiem
- Maciej87
- Użytkownik
- Posty: 377
- Rejestracja: 26 sty 2009, o 09:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 46 razy
rownanie zespolone nr 2
I ten sposób, choć oczywisty, wygląda nawet trochę bardziej elegancko niż układ.
No ale nie ograniczajmy liczb zespolonych do rachunków na wzorach redukcyjnych.
Siedzę na tym forum od jakiegoś czasu, i kiedy mamy rzeczywisty problem z liczbami zespolonymi- typu wyznacz obszar na płaszczyźnie- to gro osób proponuje zawiłe rachunki, zupełnie jakbyśmy nie pracowali z liczbami zespolonymi. Z kolei de Moivre i przechodzenie od jednej formy do innej obcykany jest do perfekcji.
Stąd wniosek że uczone są wzorki a nie własności.
PS: rzeczywiście zdarzył się ort, za co przepraszam.
No ale nie ograniczajmy liczb zespolonych do rachunków na wzorach redukcyjnych.
Siedzę na tym forum od jakiegoś czasu, i kiedy mamy rzeczywisty problem z liczbami zespolonymi- typu wyznacz obszar na płaszczyźnie- to gro osób proponuje zawiłe rachunki, zupełnie jakbyśmy nie pracowali z liczbami zespolonymi. Z kolei de Moivre i przechodzenie od jednej formy do innej obcykany jest do perfekcji.
Stąd wniosek że uczone są wzorki a nie własności.
PS: rzeczywiście zdarzył się ort, za co przepraszam.
- sesese
- Użytkownik
- Posty: 373
- Rejestracja: 5 lip 2008, o 23:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 3 razy
rownanie zespolone nr 2
1) Jeżeli część rzeczywista jest dodatnia to korzystamy z pierwszego wzoru.
\(\displaystyle{ \sqrt{a ^{2} +b ^{2} }}\) wzor 1: \(\displaystyle{ ArcTg( \frac{a}{b}) ==>\\}\)
\(\displaystyle{ z ^{8}- ( \sqrt{3} +i)^{8}}\) CO Z TYM ?
\(\displaystyle{ ArcTg( \sqrt{3} )= \frac{\pi}{3}}\)
przeciez mialo byc \(\displaystyle{ \frac{\pi }{6}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a ^{2} +b ^{2} }}\) wzor 1: \(\displaystyle{ ArcTg( \frac{a}{b}) ==>\\}\)
\(\displaystyle{ z ^{8}- ( \sqrt{3} +i)^{8}}\) CO Z TYM ?
\(\displaystyle{ ArcTg( \sqrt{3} )= \frac{\pi}{3}}\)
przeciez mialo byc \(\displaystyle{ \frac{\pi }{6}}\)
- Maciej87
- Użytkownik
- Posty: 377
- Rejestracja: 26 sty 2009, o 09:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 46 razy
rownanie zespolone nr 2
No bo pomyliłeś ułameksesese pisze:1) Jeżeli część rzeczywista jest dodatnia to korzystamy z pierwszego wzoru.
wzor 1: \(\displaystyle{ ArcTg( \frac{a}{b}) ==>\\}\)
przeciez mialo byc \(\displaystyle{ \frac{\pi }{6}}\)
dla \(\displaystyle{ z=a+bi = |z|e^{i\phi}}\) mamy
\(\displaystyle{ \tan \phi = \frac{b}{a}}\), a nie \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 6607
- Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 1823 razy
rownanie zespolone nr 2
@Maciej87:
Sam przy zadaniach typu wyznacz obszar stosuję metodę rozpisania, a nie korzystania z własności. I to z prostego powodu - więcej prostych rachunków jest łatwiejsze do wytłumaczenia, niż skorzystanie z jakiejś własności. Po prostu nie chcę, by po wpisaniu mojego posta pojawił się kolejny - "ale skąd to się wzięło?". Głupio tak w kółko to samo pisać
Pozdrawiam.
Sam przy zadaniach typu wyznacz obszar stosuję metodę rozpisania, a nie korzystania z własności. I to z prostego powodu - więcej prostych rachunków jest łatwiejsze do wytłumaczenia, niż skorzystanie z jakiejś własności. Po prostu nie chcę, by po wpisaniu mojego posta pojawił się kolejny - "ale skąd to się wzięło?". Głupio tak w kółko to samo pisać
Pozdrawiam.