Znajdź wszystkie liczby zespolone spełniające dane równania

[Fang]

Znajdź wszystkie liczby zespolone spełniające dane równania

\(\displaystyle{ a) z^{2} = \overline z\\}\)
\(\displaystyle{ a) z^{3} = \overline z\\}\)
\(\displaystyle{ a) \overline z^{2} = z^{2}\\}\)

Podstawianie a+bi sprawia daje układ równań, lecz wychodzą same zera w każdym podpunkcie.

[miodzio1988]

Jak nie masz pomysłu to mozesz wstawić \(\displaystyle{ z=a+bi}\)
Można też to zrobić sprytniej, ale to "sprytniej" korzystania z własności liczb zespolonych , które mało kto pamięta. Polecam na chama sprobować(tzn pprzez podstawienie). Jak nie wyjdzie to wtedy pomyślimy.

Podstawianie a+bi sprawia daje układ równań, lecz wychodzą same zera w każdym podpunkcie.

Pokaz jak to liczyłeś.

[Fang]

\(\displaystyle{ b) z^{3} = \overline z\\}\)
\(\displaystyle{ (a+bi)^{3}=a-bi \\
a^3+3a^2bi-3ab+bi^3= a - bi \\
a^3-a-3ab+i(3ab+b)=0
\\


\begin{cases} 0 = a^3-a-3ab \\ 0 = 3ab+b \end{cases}}\)

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ i ^{3}=-i}\)
I teraz trochę się zmieni Twoj układ rownan. Układ ten łatwo jest rozwiązać(mam nadzieję)WYznacz b z drugiego rownania i wstaw do pierwszego.

[Fang]

niestety nie jest go łatwo rozwiązać zrobiłem co kazałeś i wyszło mi \(\displaystyle{ a=0, a= \sqrt{27} i a=-\sqrt{27}}\)

Coś jest skopane i w ogóle ta metoda jest chyba nieefektywna... Co z tymi własnościami?

[miodzio1988]

No jak Ci wyszło coś takiego to metoda jest bardzo efektywna, bo szybko uzyskałeś wynik. (tak to jest wynik). Wystarczy teraz wyznaczyć b i masz odpowiedz. Rachunkow nie sprawdzam, ale skoro prawie bez myslenia dało się zrobic przyklad to chyba cieszymy się, nie?

[Fang]

W odpowiedziach jest 0, 1, -1, i , -i

Więc lipa

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ a^3+3a^2bi-3ab+(bi)^3= a - bi}\)
\(\displaystyle{ a^3+3a^2bi-3ab-i(b)^3= a - bi}\)
Teraz porównaj części rzeczywiste i urojone. Robisz błędy rachunkowe.

[Fang]

da się to w ogóle porównać? Wychodzi masakra..

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ a^3-3ab=a \Leftrightarrow a(a ^{2}-3b-1 )=0}\)
\(\displaystyle{ \wedge}\)
\(\displaystyle{ 3a^2b- b^{3}=-b \Leftrightarrow b(-b ^{2}+3a ^{2} +1 )=0}\)
No i masz cztery układy rownan. Rozwiązujesz je i wychodzi Ci wynik . Czemu 4? Pomyśl.

[Kamil_B]

Co do podpunktu b to ja bym robił jednak w ten sposób:
Mamy:

\(\displaystyle{ (*) \ \ z^{3}=\overline z}\)

Teraz nakładamy moduł na obie strony równania i mamy:

\(\displaystyle{ \left| z\right|^{3}= \left| z \right|}\)

Stąd otrzymujemy,że:

\(\displaystyle{ \left|z \right| =0 \ \vee \ \left|z \right|^{2}=1}\)

Podstawiając teraz \(\displaystyle{ \left| z \right|^{2}=1}\) do wyjściowego równania \(\displaystyle{ (*)}\),pomnożonego obustronnie przez \(\displaystyle{ z}\) mamy:

\(\displaystyle{ z=0 \ \vee z^{4}=1}\)

co łatwo rozwiązać

Reszta podpunktów analogicznie.

[frej]

Można też to zrobić sprytniej, ale to "sprytniej" korzystania z własności liczb zespolonych , które mało kto pamięta. Polecam na chama sprobować(tzn pprzez podstawienie). Jak nie wyjdzie to wtedy pomyślimy.

Wybacz miodzio1988, ale z takim podejściem, to ciężko kogoś przekonać do nauki liczb zespolonych...
Równie dobrze można sprowadzić całą geometrię do bezmyślnego liczenia w sposób analityczny ( nie mówię, że to jest zawsze zła opcja ), liczenie skomplikowanych granic funkcji, pochodnych etc. do liczenia z definicji ( której z resztą sporo osób nie pamięta ) czy też dowodzenie nierówności przy pomocy podstawienia \(\displaystyle{ y=x+a \; \; z=x+a+b}\). Bardzo podoba mi się ta metoda podstawiania \(\displaystyle{ z=a+ib}\) przy bardziej skomplikowanych przykładach, jak przykładowo ten: post550083.htm#p550083 , post551651.htm#p551651 czy ten post553511.htm#p553511

[miodzio1988]

frej, ale ja nikogo przekonać się do nauki nie staram. Skoro ta metoda się sprawdza to warto ją NAJPIERW zastosowac. Jak nie wyjdzie to wtedy myslec. A skoro 90 % przykladow na forum idzie z tej metody to taką też wskazowkę daję. Pozniej to podstawienie też się przydaję przy nauce o funkcjach zmiennej zespolonej więc warto o tym pamiętac -- 30 października 2009, 20:15 --A ten ostatni przyklad to chyba pomyłka , nie? Bo tam to podstawienie bardzo pasuje

[frej]

Ale jaki jest sens podstawiać w tym zadaniu \(\displaystyle{ z=a+ib}\) skoro można to rozwiązać bardzo prosto, jak zrobił to Kamil_B

[miodzio1988]

No po podstawieniu też jest prosto. Zadne kosmiczne rownania nie wychodzą. Mamy zatem dwa sposoby rozwiązania tego zadania, więc powinnismy się cieszyc