rozwiązać równania

[threetwos]

Witam wszystkich! będe wdzięczny za pomoc w rozwiązaniu kilku zadań z którymi nie mogę sobie poradzić!
1. \(\displaystyle{ \left( \frac{1+i \sqrt{3} }{1-i} \right) ^{20}}\)
2. \(\displaystyle{ \sqrt[3]{i}}\)
3. \(\displaystyle{ \sqrt[6]{ \frac{ \sqrt{3} - i }{i-1} }}\)
4. \(\displaystyle{ \sqrt[6]{-27}}\)
5. \(\displaystyle{ z^{2}+4z+5=0}\)
6. \(\displaystyle{ z^{3}=-8}\)
7. \(\displaystyle{ z^{4}-2 z^{2}+4=0}\)

Jeśli ktoś pomoże mi zrozumieć chociaż jedno z tych zadań będę bardzo wdzieczny. pozdrawiam threetwo's

[Mariusz M]

Witam wszystkich! będe wdzięczny za pomoc w rozwiązaniu kilku zadań z którymi nie mogę sobie poradzić!
1. \(\displaystyle{ \left( \frac{1+i \sqrt{3} }{1-i} \right) ^{20}}\)
2. \(\displaystyle{ \sqrt[3]{i}}\)
3. \(\displaystyle{ \sqrt[6]{ \frac{ \sqrt{3} - i }{i-1} }}\)
4. \(\displaystyle{ \sqrt[6]{-27}}\)
5. \(\displaystyle{ z^{2}+4z+5=0}\)
6. \(\displaystyle{ z^{3}=-8}\)
7. \(\displaystyle{ z^{4}-2 z^{2}+4=0}\)

Jeśli ktoś pomoże mi zrozumieć chociaż jedno z tych zadań będę bardzo wdzieczny. pozdrawiam threetwo's

Ad 1.

\(\displaystyle{ \left( \frac{1+i \sqrt{3} }{1-i} \right) ^{20}=}\)

\(\displaystyle{ \left( \frac{2}{ \sqrt{2} } \left( \cos{ \left( \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} \right) }\right)+i\sin{\left( \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} \right)} \right)^{20}}\)

\(\displaystyle{ = \left( \sqrt{2} \left(\cos{ \frac{7\pi}{12} }+i\sin{ \frac{7\pi}{12} } \right) \right)^{20}}\)

\(\displaystyle{ =2^{10} \left( \cos{ \frac{35\pi}{3} +i\sin{ \frac{35\pi}{3} }}\right)}\)

\(\displaystyle{ =2^{10} \left( \cos{ \frac{\pi}{3} }-i\sin{ \frac{\pi}{3} }\right)}\)

=\(\displaystyle{ 2^{9} \left( 1-i\sqrt{3}\right)}\)

Ad 3.

\(\displaystyle{ \sqrt[6]{ \frac{ \sqrt{3}-i }{-1+i} }}\)

\(\displaystyle{ = \left( \frac{2}{ \sqrt{2} } \left( \cos{ \left(- \frac{\pi}{6} - \frac{3\pi}{4} \right) }+i\sin{ \left(- \frac{\pi}{6} - \frac{3\pi}{4} \right)}\right) \right) ^{ \frac{1}{6} }=}\)

\(\displaystyle{ \left( \sqrt{2} \left( \cos{ \frac{11\pi}{12} }-i\sin{ \frac{11\pi}{12} }\right) \right)^{ \frac{1}{6} }}\)

\(\displaystyle{ \left( \sqrt{2} \left( -\cos{ \frac{\pi}{12} }-i\sin{ \frac{\pi}{12} }\right) \right)^{ \frac{1}{6} }}\)


Ze wzoru de Moivre

\(\displaystyle{ =2^{ \frac{1}{12} } \left(-\cos{ \frac{ \left(1+24k \right) \pi}{72} }-i\sin{ \frac{ \left( 1+24k\right)\pi }{72} } \right)}\)

\(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}_{6}}\)

[Crizz]

7)\(\displaystyle{ z^{4}-2z^{2}+4=0}\)
\(\displaystyle{ (z^{2}-1)^{2}=-3}\)
\(\displaystyle{ (z^{2}-1)^{2}=3i^{2}}\)
\(\displaystyle{ z^{2}-1=i\sqrt{3} \vee z^{2}-1=-i\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ z^{2}=i\sqrt{3}+1 \vee z^{2}=-i\sqrt{3}+1}\)
Rozwiązania znajdujesz jako pierwiastki z liczb \(\displaystyle{ i\sqrt{3}+1,-i\sqrt{3}+1}\)

-- 27 października 2009, 21:17 --

6) \(\displaystyle{ z^{3}=-8}\)
\(\displaystyle{ z^{3}+8=0}\)
\(\displaystyle{ (z+2)(z^{2}-2z+4)=0}\)
\(\displaystyle{ z+2=0 \vee z^{2}-2z+4=0}\)

Pierwsze równanie:\(\displaystyle{ z_{0}=-2}\)
Drugie równanie:
\(\displaystyle{ z^{2}-2z+4=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=4-4 \cdot 4=-12=12i^{2}}\)
Jednym z pierwiastków z delty jest \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=2i\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ z_{1}=\frac{2-2i\sqrt{3}}{2}=1-i\sqrt{3},z_{2}=\frac{2+2i\sqrt{3}}{2}=1+i\sqrt{3}}\)

-- 27 października 2009, 21:21 --

5) \(\displaystyle{ z^{2}+4z+5=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=16-4 \cdot 5=-4=4i^{2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=2i}\)
\(\displaystyle{ z_{1}=\frac{-4+2i}{2}=-2+i,z_{2}=\frac{-4-2i}{2}=-2-i}\)-- 27 października 2009, 21:27 --2) \(\displaystyle{ \sqrt[3]{i}=\sqrt[3]{cos\frac{\pi}{2}+isin\frac{\pi}{2}}}\)
\(\displaystyle{ w_{0}=cos\frac{\pi}{6}+isin\frac{\pi}{6}}\)
\(\displaystyle{ w_{1}=cos\frac{\pi+2\pi}{6}+isin\frac{\pi+2\pi}{6}}\)
\(\displaystyle{ w_{2}=cos\frac{\pi+4\pi}{6}+isin\frac{\pi+4\pi}{6}}\)
...

[okon]

moze ktos mi wytlumaczyc ad1? ;p-- 2 listopada 2009, 00:38 --pilne

[Mariusz M]

moze ktos mi wytlumaczyc ad1? ;p

-- 2 listopada 2009, 00:38 --

pilne

Przeszedłem od razu na postać trygonometryczną i wykonałem dzielenie
już na postaci trygonometrycznej następnie skorzystałem ze wzoru de Moivre
Podczas dzielenia moduły się dzieli a argumenty odejmuje