Korzystając z faktu, że liczby zespolone są równe wtedy, gdy ich części rzeczywiste i urojone są równe, znaleźć wszystkie liczby zespolone spełniające podane warunki:
\(\displaystyle{ Im (z^2) = (2 - i)z}\)
Zapisując to w postaci algebraicznej oraz przekształcając, otrzymałem taką równość:
\(\displaystyle{ 2xy - 2x + y - 2yi + xi = 0}\)
I nie wiem co dalej. Możliwe, że gdzieś się pomyliłem. Z góry dzięki za pomoc.
Znaleźć liczby zesp. spełniające warunki...
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Znaleźć liczby zesp. spełniające warunki...
Niech \(\displaystyle{ z=x+yi}\)
\(\displaystyle{ (2-i)z=(2-i)(x+yi)=2x+y+i(2y-x)}\)
\(\displaystyle{ z^2=(x+yi)^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy}\)
\(\displaystyle{ Im(z^{2})=2xy}\)
Ma zachodzić: \(\displaystyle{ 2x+y+i(2y-x)=2xy}\)
Korzystając z kryterium równości liczb zespolonych otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2xy=2x+y \\ 2y-x=0 \end{cases}}\)
Z drugiego równania mamy \(\displaystyle{ x=2y}\), podstawiamy wartość x do pierwszego rozwiązujemy układ do końca, otrzymujemy ostatecznie \(\displaystyle{ (x,y)=(0,0) \vee (x,y)=\left(\frac{5}{2},\frac{5}{4}\right)}\)
\(\displaystyle{ (2-i)z=(2-i)(x+yi)=2x+y+i(2y-x)}\)
\(\displaystyle{ z^2=(x+yi)^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy}\)
\(\displaystyle{ Im(z^{2})=2xy}\)
Ma zachodzić: \(\displaystyle{ 2x+y+i(2y-x)=2xy}\)
Korzystając z kryterium równości liczb zespolonych otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2xy=2x+y \\ 2y-x=0 \end{cases}}\)
Z drugiego równania mamy \(\displaystyle{ x=2y}\), podstawiamy wartość x do pierwszego rozwiązujemy układ do końca, otrzymujemy ostatecznie \(\displaystyle{ (x,y)=(0,0) \vee (x,y)=\left(\frac{5}{2},\frac{5}{4}\right)}\)