przedstawić w postaci trygonometrycznej i wykładniczej...

[kamiltopek]

Przedstawić w postaci trygonometrycznej i wykładniczej podane liczby. Sprowadzić do postaci algebraicznej.

a)\(\displaystyle{ z=(2-2j)^5}\)
b)\(\displaystyle{ z=( \sqrt{3}+j)^6}\)
c)\(\displaystyle{ (1-\sqrt{3j})^{12}=z}\)
d)\(\displaystyle{ z=(1+j)^{24}}\)

Mam problem z tymi przykładami. Czy mógłby ktoś zademonstrować od początku do końca jak rozwiązać chociaż jeden z nich? Będę bardzo wdzięczny

[olenka19]

\(\displaystyle{ IzI = \sqrt{2^2+(-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} cos \alpha = \frac{2}{2 \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ sin \alpha = \frac{-2}{2 \sqrt{2}} =- \frac{ \sqrt{2} }{2} } \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{7\pi}{4}}\)

\(\displaystyle{ (2-2i) ^{5} =( \sqrt{8} )^5*(cos5*\frac{7\pi}{4} +isin5*\frac{7\pi}{4})}\)
\(\displaystyle{ (2-2i) ^{5} =( \sqrt{8} )^5*(cos\frac{35\pi}{4} +isin\frac{35\pi}{4})}\)
\(\displaystyle{ (2-2i) ^{5} =( \sqrt{8} )^5*(cos\frac{3\pi}{4} +isin\frac{3\pi}{4})}\)
\(\displaystyle{ (2-2i) ^{5} =( \sqrt{8} )^5*( \frac{ -\sqrt{2} }{2} +i\frac{ \sqrt{2} }{2} )}\)

[Pablopablo]

A postać wykładnicza to po prostu:
\(\displaystyle{ (2-2i) ^{5} =( \sqrt{8} )^5*(cos\frac{3\pi}{4} +isin\frac{3\pi}{4})=( \sqrt{8} )^5*e^{i \frac{3\pi}{4}}}\)

[crotalus]

hmmm moglby mi ktos powiedziec skad sie wzielo \(\displaystyle{ \alpha = \frac{7\pi}{4}}\)

[Pablopablo]

Z wartości funkcji trygonometrycznych dla typowych kątów oraz wykresu (narysuj sobie sinus i cosinus na jednym wykresie i poszukaj tego kąta).
A w takich przypadkach łatwiej znaleźć argument liczby z jej interpretacji geometrycznej. Narysuj sobie na płaszczyźnie i zaznacz kąt. Ponieważ liczba ma współrzędne (2,-2) to z osią Y najmniejszy kąt wynosi Pi/4. Do tego masz "trzy poprzednie ćwiartki", czyli 3*Pi/2+Pi/4 i gotowe.

[kamiltopek]

Dziękuje za pomoc. Mam jeszcze pytanie, skąd wzięło się w trzeciej linijce \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{4}}\) dla cosinusa i sinusa. czy w drugim przykładzie powinno być zatem \(\displaystyle{ \frac{5\pi}{6}}\) w tym miejscu?

[Pablopablo]

Funkcje trygonometryczne są okresowe, więc możesz skracać ich argumenty o wielokrotności (akurat w przypadku sinusa i cosinusa) 2Pi, np:
\(\displaystyle{ \sin \frac{15 \pi}{4}=\sin \frac{7*2 \pi + \pi}{4}=\sin \frac{\pi}{4}}\)