wyznaczyć obszar płaski na płaszczyźnie Gaussa

[kamiltopek]

Nie wiem jak to ugryźć :

Na płaszczyźnie Gaussa wyznaczyć obszar płaski określony nierównościami:

a) \(\displaystyle{ \left|z+1\right| \ge 1}\) i \(\displaystyle{ \left|z+1\right| \le 2}\), jeżeli \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6} \le arg z \le \frac{\pi}{3}}\)
b) \(\displaystyle{ \left|z+2-j \right| \le 2}\) i \(\displaystyle{ \left|z-1+2j \right| \ge 3}\)

Czy mógłby ktoś zademonstrować w jaki sposób to rozwiązać? Będę bardzo wdzięczny

[Crizz]

a) Sprawdźmy najpierw, co opisuje równanie
\(\displaystyle{ |z+1| = 1}\)
Niech \(\displaystyle{ z=x+yi}\), wtedy:
\(\displaystyle{ |(x+1)+yi|=1}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}=1}\)
\(\displaystyle{ (x+1)^{2}+y^{2}=1}\),
czyli jest to okrąg.

Ogólnie dość łatwo zrozumieć, ze równanie \(\displaystyle{ |z-z_{0}|=r}\) opisuje okrąg o środku \(\displaystyle{ z_{0}}\) i promieniu \(\displaystyle{ r}\).

Ponieważ zamiast równania mamy nierówność ze znakiem \(\displaystyle{ \ge}\), to bierzemy zewnętrze koła o promieniu 1 i środku \(\displaystyle{ (-1,0)}\)

Analogicznie, druga nierówność w koniunkcji opisuje wnętrze koła o promieniu 2 i srodku \(\displaystyle{ (-1,0)}\), zatem cały warunek opisuje pewien pierścień. Do tego trzeba dołożyć jeszcze warunek opisujący kąty. Powinno to wyglądać tak (szary obszar na obrazku)

[sonicwork]

Czy ja czegoś nie rozumiem czy w rysunku jest błąd? środek okręgów powinien być w (-1,0) a jest w (1, 0)

[Crizz]

Tak, przepraszam, zrobiłem ten rysunek na szybko, proszę się nim nie sugerować.

[sonicwork]

a mógłbyś zrobić jeszcze pierwsze równanie z przykładu b) :

\(\displaystyle{ \left| z+2-j\right| \le 2}\)

[Crizz]

To jest przecież dokładnie taki sam przypadek: nierówność opisuje koło o środku w punkcie \(\displaystyle{ (-2,1)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 2}\).