Korzystając z postaci trygonometrycznej liczb zespolonych wyprowadzić wzory wyrażające \(\displaystyle{ sin3x}\) i \(\displaystyle{ cos3x}\) poprzez \(\displaystyle{ sinx}\) i \(\displaystyle{ cosx}\).
Proszę o potwierdzenie lub zaprzeczenie, że jeżeli \(\displaystyle{ z=a+bi}\), to
\(\displaystyle{ sin3x= \frac{3a ^{2}b-b ^{3}}{ \sqrt{ (a ^{2}+b ^{2})^{3} } }}\),
\(\displaystyle{ cos3x= \frac{a ^{3}-3ab ^{2}}{ \sqrt{ (a ^{2}+b ^{2})^{3} } }}\).
Wyprowadzić wzory na sin3x i cos3x
-
- Użytkownik
- Posty: 476
- Rejestracja: 20 cze 2008, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 93 razy
Wyprowadzić wzory na sin3x i cos3x
Niech \(\displaystyle{ z = cos(x) + isin(x)}\).
Wtedy \(\displaystyle{ z^{3} = cos(3x) + isin(3x)}\).
Z drugiej strony \(\displaystyle{ z^{3} = (cos(x) + isin(x))^{3} = cos^{3}(x) + 3cos^{2}(x)isin(x) + 3cos(x)(isin(x))^{2} + (isin(x))^{3} = cos^{3}(x) + i3cos^{2}(x)sin(x) - 3cos(x)sin^{2}(x) - isin^{3}(x)}\).
Porównując odpowiednie części rzeczywiste i urojone otrzymujemy żądane tożsamości trygonometryczne.
Wtedy \(\displaystyle{ z^{3} = cos(3x) + isin(3x)}\).
Z drugiej strony \(\displaystyle{ z^{3} = (cos(x) + isin(x))^{3} = cos^{3}(x) + 3cos^{2}(x)isin(x) + 3cos(x)(isin(x))^{2} + (isin(x))^{3} = cos^{3}(x) + i3cos^{2}(x)sin(x) - 3cos(x)sin^{2}(x) - isin^{3}(x)}\).
Porównując odpowiednie części rzeczywiste i urojone otrzymujemy żądane tożsamości trygonometryczne.