Wyprowadzić wzory na sin3x i cos3x

[wbb]

Korzystając z postaci trygonometrycznej liczb zespolonych wyprowadzić wzory wyrażające \(\displaystyle{ sin3x}\) i \(\displaystyle{ cos3x}\) poprzez \(\displaystyle{ sinx}\) i \(\displaystyle{ cosx}\).

Proszę o potwierdzenie lub zaprzeczenie, że jeżeli \(\displaystyle{ z=a+bi}\), to

\(\displaystyle{ sin3x= \frac{3a ^{2}b-b ^{3}}{ \sqrt{ (a ^{2}+b ^{2})^{3} } }}\),

\(\displaystyle{ cos3x= \frac{a ^{3}-3ab ^{2}}{ \sqrt{ (a ^{2}+b ^{2})^{3} } }}\).

[Tomasz Tkaczyk]

Niech \(\displaystyle{ z = cos(x) + isin(x)}\).

Wtedy \(\displaystyle{ z^{3} = cos(3x) + isin(3x)}\).

Z drugiej strony \(\displaystyle{ z^{3} = (cos(x) + isin(x))^{3} = cos^{3}(x) + 3cos^{2}(x)isin(x) + 3cos(x)(isin(x))^{2} + (isin(x))^{3} = cos^{3}(x) + i3cos^{2}(x)sin(x) - 3cos(x)sin^{2}(x) - isin^{3}(x)}\).

Porównując odpowiednie części rzeczywiste i urojone otrzymujemy żądane tożsamości trygonometryczne.

[wbb]

.