Znaleźć pierwiastki wielomianu

wbb · Post autor: **wbb** » 26 paź 2009, o 14:55

Znaleźć wszystkie pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ x ^{4}-6x ^{3}+14x ^{2}-6x+13}\) wiedząc, że jednym z nich jest \(\displaystyle{ 3+2i}\).

Jak rozwiązać takie zadanie?

frej · Post autor: **frej** » 26 paź 2009, o 19:32

Jeśli wielomian o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastek zespolony \(\displaystyle{ z}\), to \(\displaystyle{ W(\overline{z})=0}\). Wobec tego nasz wielomian jest podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ (x-(3+2i))(x-(3-2i))=x^2-6x+13}\). Czyli
\(\displaystyle{ x^2-6x^3+14x^2-6x+13=(x^2-6x+13)(x^2+ax+1)}\)
Porównaj współczynnik przy \(\displaystyle{ x}\) (po wymnożeniu z prawej strony z współczynnikiem z lewej strony) żeby otrzymać \(\displaystyle{ a}\). Potem zostanie Ci już tylko rozwiązanie równania kwadratowego \(\displaystyle{ x^2+ax+1=0}\)

natos · Post autor: **natos** » 26 paź 2009, o 21:02

mozesz mi bardziej lopatologicznie wytlumaczyc dlaczego akurat przez taki wielomian \(\displaystyle{ (x-(3+2i))(x-(3-2i))=x^2-6x+13}\)

frej · Post autor: **frej** » 27 paź 2009, o 07:20

Znasz tw. Bezout? Jeśli \(\displaystyle{ W(t)=0}\) to \(\displaystyle{ W(x)=(x-t)Q(x)}\)

natos · Post autor: **natos** » 27 paź 2009, o 08:24

zle przeczytalem tresc zadania . Juz wszystko jasne . Dzięki .