Wykazać nierówność
\(\displaystyle{ | z_{1} + z_{2}| \le | z_{1}|+|z _{2}|}\).
Wykazać nierówność
-
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Wykazać nierówność
Jest to nierówność trójkąta na płaszczyźnie, znana z kursu planimetrii w szkole. Można to też arytmetycznie:
Najpierw napiszę dowód, w którym podstawiamy z=a+bi, zapisany od tej "właściwej" strony. Jest on OK, ale wyjątkowo paskudny (ale przyda się do ilustracji, jak paskudny może być taki dowód):
Oznaczmy:
\(\displaystyle{ z_k=a_k+b_k}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ (a_1b_2-b_1a_2)^2\ge 0 \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ (a_1b_2)^2+(b_1a_2)^2\ge2a_1a_2b_1b_2 \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ (a_1a_2)^2+(b_1b_2)^2+(a_1b_2)^2+(b_1a_2)^2\ge (a_1a_2)^2+(b_1b_2)^2+2a_1a_2b_1b_2 \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ (a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)\ge (a_1a_2+b_1b_2)^2 \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)}\ge a_1a_2+b_1b_2 \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ a_1^2+b_1^2+a_2^2+b_2^2+2\sqrt{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)}\ge}\)
\(\displaystyle{ \ge(a_1+a_2)^2+(b_1+b_2)^2=a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2+2(a_1a_2+b_1b_2) \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ (|z_1|+|z_2|)^2\ge|z_1+z_2|^2 \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ |z_1|+|z_2|\ge|z_1+z_2|}\)
A teraz normalny dowód:
\(\displaystyle{ |z_1+z_2|^2=(z_1+z_2)\overline{(z_1+z_2)}=z_1\overline{z_1}+z_1\overline{z_2}+z_2\overline{z_2}+z_2\iverline{z_1}=}\)
\(\displaystyle{ =|z_1|^2+|z_2|^2+z_1\overline{z_2}+\overline{z_1\overline{z_2}}=|z_1|^2+|z_2|^2+2\mbox{Re}(z_1\overline{z_2})\le}\)
\(\displaystyle{ \le|z_1|^2+|z_2|^2+2|z_1z_2|=(|z_1|+|z_2|)^2}\)
Nierówność z linii drugiej do trzeciej wynika stąd, że moduł liczby zespolonej jest niemniejszy od jej części rzeczywistej, co jest oczywiste.
Najpierw napiszę dowód, w którym podstawiamy z=a+bi, zapisany od tej "właściwej" strony. Jest on OK, ale wyjątkowo paskudny (ale przyda się do ilustracji, jak paskudny może być taki dowód):
Oznaczmy:
\(\displaystyle{ z_k=a_k+b_k}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ (a_1b_2-b_1a_2)^2\ge 0 \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ (a_1b_2)^2+(b_1a_2)^2\ge2a_1a_2b_1b_2 \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ (a_1a_2)^2+(b_1b_2)^2+(a_1b_2)^2+(b_1a_2)^2\ge (a_1a_2)^2+(b_1b_2)^2+2a_1a_2b_1b_2 \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ (a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)\ge (a_1a_2+b_1b_2)^2 \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)}\ge a_1a_2+b_1b_2 \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ a_1^2+b_1^2+a_2^2+b_2^2+2\sqrt{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)}\ge}\)
\(\displaystyle{ \ge(a_1+a_2)^2+(b_1+b_2)^2=a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2+2(a_1a_2+b_1b_2) \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ (|z_1|+|z_2|)^2\ge|z_1+z_2|^2 \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ |z_1|+|z_2|\ge|z_1+z_2|}\)
A teraz normalny dowód:
\(\displaystyle{ |z_1+z_2|^2=(z_1+z_2)\overline{(z_1+z_2)}=z_1\overline{z_1}+z_1\overline{z_2}+z_2\overline{z_2}+z_2\iverline{z_1}=}\)
\(\displaystyle{ =|z_1|^2+|z_2|^2+z_1\overline{z_2}+\overline{z_1\overline{z_2}}=|z_1|^2+|z_2|^2+2\mbox{Re}(z_1\overline{z_2})\le}\)
\(\displaystyle{ \le|z_1|^2+|z_2|^2+2|z_1z_2|=(|z_1|+|z_2|)^2}\)
Nierówność z linii drugiej do trzeciej wynika stąd, że moduł liczby zespolonej jest niemniejszy od jej części rzeczywistej, co jest oczywiste.