Wykonać działanie na liczbach zespolonych

wbb · Post autor: **wbb** » 25 paź 2009, o 16:05

Obliczyć

\(\displaystyle{ \frac{1+itg \alpha }{1-itg \alpha }}\).

Proszę tylko o potwierdzenie lub zaprzeczenie, że to ma być

\(\displaystyle{ cos2 \alpha +isin2 \alpha}\).

xiikzodz · Post autor: **xiikzodz** » 25 paź 2009, o 16:09

wbb · Post autor: **wbb** » 25 paź 2009, o 16:16

A jak się uporać z czymś takim:

\(\displaystyle{ \frac{a+bi}{a-bi}}\) ?

xiikzodz · Post autor: **xiikzodz** » 25 paź 2009, o 16:23

Jeśli zapiszemy licznik w postaci \(\displaystyle{ re^{i\varphi}}\), to wynikiem jest \(\displaystyle{ e^{2i\varphi}}\). Inna opcja. Jeśli licznik oznaczymy \(\displaystyle{ z}\), to ten iloraz jest równy: \(\displaystyle{ \frac{z^2}{|z|^2}}\)

wbb · Post autor: **wbb** » 25 paź 2009, o 16:31

Możesz wytłumaczyć jak do tego doszłaś? Chodzi o tę drugą opcję.

xiikzodz · Post autor: **xiikzodz** » 25 paź 2009, o 16:36

\(\displaystyle{ a+bi=r(\cos\varphi + i\sin\varphi)=re^{i\varphi}}\)

\(\displaystyle{ a-bi=...=re^{-i\varphi}}\)

\(\displaystyle{ \frac{re^{i\varphi}}{re^{-i\varphi}}=e^{2i\varphi}}\)

\(\displaystyle{ z=a+bi}\)

\(\displaystyle{ \overline z=a-bi}\)

\(\displaystyle{ \frac{a+bi}{a-bi}=\frac{z}{\overline z}=\frac{z\cdot z}{z\cdot\overline z}=\frac{z^2}{|z|^2}}\)

wbb · Post autor: **wbb** » 27 paź 2009, o 18:42

Czyli z tego wynika, że \(\displaystyle{ \frac{a+bi}{a-bi}=1}\). Ale podobnie można było zrobić \(\displaystyle{ \frac{1+itg \alpha }{1-itg \alpha }}\) (tym samym sposobem) i też wychodzi \(\displaystyle{ 1}\), a przecież pisałem w 1. poście w temacie (i zostało to potwierdzone), że ten iloraz jest równy \(\displaystyle{ cos2 \alpha +isin2 \alpha}\). A przecież \(\displaystyle{ cos2 \alpha +isin2 \alpha \neq 1}\). Może ktoś to wytłumaczyć?

xiikzodz · Post autor: **xiikzodz** » 27 paź 2009, o 18:52

\(\displaystyle{ \left|\frac{a+bi}{a-bi}\right|=1}\)

Jest mnóstwo liczb zespolonych z takich, że \(\displaystyle{ |z|=1}\). Cały okrąg jednostkowy.

wbb · Post autor: **wbb** » 27 paź 2009, o 19:22

Czyli \(\displaystyle{ \frac{a+bi}{a-bi}=\frac{z^2}{|z|^2}=?}\)

Jaki ma być ostateczny wynik?

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 27 paź 2009, o 19:46

\(\displaystyle{ \frac{1+i\tan{\alpha}}{1-i\tan{\alpha}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{z_{1}}{z_{2}}= \frac{ \left| z_{1}\right| }{ \left| z_{2}\right| } \left( \cos{ \left( arg \left( z_{1}\right)-arg \left(z_{2} \right) \right) }+i\sin{\left( arg \left( z_{1}\right)-arg \left(z_{2} \right) \right)}\right)}\)

\(\displaystyle{ \left| z_{1}\right|^2= \left| z_{2}\right|^2=1+\tan^{2}{\alpha}}\)

\(\displaystyle{ arg \left( z_{1}\right)=\arctan{ \left(\tan{\alpha} \right) }=\alpha}\)

\(\displaystyle{ arg \left( z_{2}\right)=\arctan{ \left(-\tan{\alpha} \right) }=-\alpha}\)

\(\displaystyle{ =\cos{ \left(\alpha- \left(-\alpha \right) \right) }+i\sin{ \left(\alpha- \left(-\alpha \right) \right) }}\)

\(\displaystyle{ =\cos{2\alpha}+i\sin{2\alpha}}\)

wbb · Post autor: **wbb** » 27 paź 2009, o 19:49

Tyle wiem, przecież napisałem to już w 1. poście.

Jakbyś odpowiedział na to

wbb pisze:Czyli \(\displaystyle{ \frac{a+bi}{a-bi}=\frac{z^2}{|z|^2}=?}\)

Jaki ma być ostateczny wynik?

to byłbym wdzięczny.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 27 paź 2009, o 21:08

wbb pisze:Tyle wiem, przecież napisałem to już w 1. poście.

Jakbyś odpowiedział na to

wbb pisze:Czyli \(\displaystyle{ \frac{a+bi}{a-bi}=\frac{z^2}{|z|^2}=?}\)

Jaki ma być ostateczny wynik?
to byłbym wdzięczny.

\(\displaystyle{ \frac{1+\itan{\alpha}}{1-i\tan{\alpha}}= \frac{1-\tan^{2}{\alpha}}{1+\tan^{2}{\alpha}} +i \frac{2\tan{\alpha}}{1+\tan^{2}{\alpha}}}\)

czyli na jedno wychodzi