Na płaszczyźnie Gauussa narysuj zbiory spełniające podane...

hakirim · Post autor: **hakirim** » 25 paź 2009, o 15:37

Na płaszczyźnie Gaussa narysuj zbiory spełniające podane warunki:
a) \(\displaystyle{ \left|z+i \right|=3}\)
Najpierw chyba trzeba rozwiązać równianie, ale ja dochodzę do czegoś takiego:
\(\displaystyle{ \left|x+yi+i \right| =3}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2} + y^{2}=3}\)
\(\displaystyle{ x^{2} + y^{2}=3}\)

Nie sądzę, żebym szedł dobrą drogą, proszę o pomoc.

Pablopablo · Post autor: **Pablopablo** » 25 paź 2009, o 15:46

Moduł to odległość liczb. Stąd Twoje równanie przedstawia okrąg o środku -i i promieniu 3. Nic tu nie trzeba liczyć.
Swoją drogą jakbyś liczył też byś otrzymał wynik, ale masz błąd w rachunkach. Część urojona tej liczby to nie jest y, tylko y+1
\(\displaystyle{ \left|x+yi+i \right| =3 \\
\sqrt{x^{2} + (y+1)^{2}} = 3 \\
x^2 + (y+1)^2 = 9}\)

hakirim · Post autor: **hakirim** » 25 paź 2009, o 15:52

A te 9 skąd wykombinowałeś? Bo coś tu nie czaję:/
A dalej nie wiem jak to można otryzmać w tym wynik skoro wychodzi:
\(\displaystyle{ \sqrt{{ x^{2} +(y+1)^2 =3}\)
\(\displaystyle{ { x^{2} + y^{2} + 2y +1=3}\)

?;/

Pablopablo · Post autor: **Pablopablo** » 25 paź 2009, o 16:10

Przecież 3 nie jest pod pierwiastkiem. Podnosisz obie strony do kwadratu. Z 3 robi się 9, a pierwiastek znika.
A to:
\(\displaystyle{ x^2 + (y+1)^2 = 9}\)
Jest już końcem rachunków. Teraz musisz przedstawić to równanie na płaszczyźnie. Poczytaj sobie to:

Jest to równanie okręgu o środku S(0,-1) i promieniu r=3. Zresztą pisałem już o tym w pierwszym poście. A jak nie znasz równania okręgu to trochę kiepsko chwytać się teraz za liczby zespolone.

hakirim · Post autor: **hakirim** » 25 paź 2009, o 16:30

\(\displaystyle{ x^{2} +y^{2} = r^{2}}\)
O te chodzi?
Nie wiem po prostu jak doszedłeś do tego, że to będzie S(0,-1) i r=3?

Pablopablo · Post autor: **Pablopablo** » 25 paź 2009, o 16:34

To równanie okręgu, które napisałeś, przedstawia okrąg o środku w środku układu współrzędnych. A bardziej ogólnie jest tak:
\(\displaystyle{ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2}\)
I wtedy masz okrąg o promieniu r i środku w punkcie (a,b). Jak widać jest to translacja tego uproszczonego równania o wektor [a,b]. Już jasne?
A na Twoim miejscu nauczyłbym się interpretować moduły liczb zespolonych. Jeżeli jest:
\(\displaystyle{ |z-w|=q}\)
i w, q masz dane, to znaczy, że odległość z od danej liczby w jest stała i wynosi q. A takie liczby znajdują się na okręgu "narysowanym wokół w" o promieniu q. Jak narysujesz sobie układ współrzędnych to Ci się to rozjaśni.

hakirim · Post autor: **hakirim** » 25 paź 2009, o 16:40

W sumie to chyba tak, ale skąd mam znać wartość wektora? Czyli ten środek okręgu jak rozumiem?

Pablopablo · Post autor: **Pablopablo** » 25 paź 2009, o 17:59

No w Twoim równaniu, które otrzymałeś to jest:
\(\displaystyle{ x^2+(y+1)^2=9 \\
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \\}\)
Porównując te dwa równania masz, że:
\(\displaystyle{ a=0 \\
b=-1 \\
r= \sqrt{9}=3}\)
A więc jest to równanie okręgu o środku w punkcie S(a,b) czyli (0,-1), oraz promieniu r=3.

hakirim · Post autor: **hakirim** » 25 paź 2009, o 18:17

Wszystko rozumiem, tylko nie to skąd wziąłeś a i b czyli 0 i -1... :/. Mógłbyś jakoś głębiej rozpisać?
O to chodzi?:
\(\displaystyle{ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \\
(x-0)^2+(y-1)^2=3^2}\)?

Pablopablo · Post autor: **Pablopablo** » 25 paź 2009, o 18:23

Ale to już ciężko jeszcze bardziej rozpisać.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+(y+1)^2=9 \\ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \end{cases} \\
\begin{cases} (x-0)^2+(y-(-1))^2=9 \\ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \end{cases} \\}\)
Przyjrzyj się nawiasom. Przecież to widać, a=0, b=-1.

hakirim · Post autor: **hakirim** » 25 paź 2009, o 18:27

Teraz już chyba rozumiem, w takim razie nie powinno być promień r= 9?

Pablopablo · Post autor: **Pablopablo** » 25 paź 2009, o 18:37

Nie, bo masz r do kwadratu. Zawsze w równaniu okręgu o tym trzeba pamiętać, że to, co jest po drugiej stronie równości, trzeba spierwiastkować.