Kilka zadań z liczb zespolonych.

[Peters]

Witam mam do rozwiązania kilka zadań z liczb zespolonych Z góry wielkie dzięki.

1.Znajdź liczby rzeczywiste x,y spełniających równanie:

\(\displaystyle{ \frac{x}{2-3i}+ \frac{y}{3+2i} = 1}\)

2.W zbiorze licz zespolonych rozwiąż równanie:

\(\displaystyle{ \left(z + \overline{z} \right) + i \left(z- \overline{z} \right) = 2i - 6}\)

3.Obliczyć moduł liczby zespolonej

\(\displaystyle{ \left( \sqrt{5}+ \sqrt{3} \right) +i \left( \sqrt{5} + \sqrt{3} \right)}\)

4.Podaną liczbę zespoloną zapisać w postaci trygonometrycznej:

\(\displaystyle{ \sqrt{3}+i}\)

5.Obliczyć wartość podanego wyrażenia a wynik podać w postaci algebraicznej

\(\displaystyle{ \left( \frac{1-i}{ \sqrt{3}+i } \right) ^{6}}\)

6.Rozwiąż równanie

\(\displaystyle{ 2 \overline{z} - \left(1 - i \right) \overline{z} = 5 + 11 i}\)

7.Oblicz \(\displaystyle{ \left|z \right|}\) jeżeli \(\displaystyle{ z = \frac{ \left(1 - \sqrt{3} i \right) ^{6} }{16 - 16 i}}\)

8. Wyprowadź wzór na \(\displaystyle{ \cos \ 2 \ alpha}\)

9. Udowodnić że przy dzieleniu liczb zespolonych argumenty tych liczb się odejmuje.

10.Rozwiąż równanie

\(\displaystyle{ \left( 1 + i\right) z + 3 \left( z - i\right) = 0}\)

11.Oblicz
\(\displaystyle{ \sqrt{-4i}}\)

12. Ponownie oblicz

\(\displaystyle{ \frac{ \left(1 - 2i \right)i }{ \left(1+ i \right) ^{7} }}\)

13. Rozwiąż równanie
\(\displaystyle{ x^{2} - 6x + 25 = 0}\)

14. arg z = \(\displaystyle{ 44^{o}}\) oblicz arg \(\displaystyle{ \left(-3 z \right)}\)

15. \(\displaystyle{ \sqrt[5]{z}= Z_{k}}\) udowodnić że \(\displaystyle{ z _{0} = z _{5}}\)

16.Rozwiąż równanie

\(\displaystyle{ 2z + \left( 1 + i\right) \overline{z} = 1 - 3i}\)

17. Oblicz

\(\displaystyle{ \frac{ \left(1 + i \right) \left(1 - i \right) }{ \left( \sqrt{3}+i \right) ^{6} }}\)

18. Udowodnij że:

\(\displaystyle{ \left( \frac{ \overline{z} }{z} \right) = \frac{2}{z}}\)

[frej]

W \(\displaystyle{ \LaTeX -u}\) sprzężenie oznacza się tak:

Kod: Zaznacz cały

\overline{z}

co daje
\(\displaystyle{ \overline{z}}\)
Teraz popraw swoją wiadomość, proszę.


To może przy okazji coś napiszę
1. Pomnóż przez \(\displaystyle{ (2-3i)(2+3i)}\)
2. Podstaw \(\displaystyle{ z=x+iy}\)
3. Jak wygląda wzór na moduł liczby zespolonej?
4. Są na to gotowe wzory
5. Skorzystaj ze wzoru de Moivre'a

[Peters]

Dzięki wielkie, a czy ktoś mógłby pomóc z resztą?:]

[olenka19]

zad 2
możesz rospisywać lub skorzystać z własności sprzężenia

\(\displaystyle{ z=x+iy}\)
\(\displaystyle{ \overline{z}=x-iy}\)
\(\displaystyle{ z+\overline{z}=2Rez}\)
\(\displaystyle{ z-\overline{z}=2i Imz}\)


\(\displaystyle{ 2x+i(2iy)=2i-6}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2(x-y)=-6\\ 0=2 \end{cases}}\)
czyli układ sprzeczny brak rozwiązań
zad. 3

wzór na moduł : \(\displaystyle{ \sqrt{a ^{2} +b ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{( \sqrt{5} + \sqrt{3}) ^{2} +( \sqrt{5} + \sqrt{3}) ^{2}} =}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{( 5 + 2\sqrt{15}+3) +( 5 + 2\sqrt{15}+3) }=}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{( 16+ 4\sqrt{15}) }=}\)
\(\displaystyle{ 2\sqrt{( 4+ \sqrt{15}) }}\)

-- 26 paź 2009, o 14:16 --

16.

\(\displaystyle{ z=x+iy}\)
\(\displaystyle{ \overline{z}=x-iy}\)

\(\displaystyle{ 2(x+iy)+(1+i)(x-iy)=1-3i}\)
\(\displaystyle{ 3x+y+(x+y)i=1-3i}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x+y=1\\ x+y=-3 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2\\ y=-5 \end{cases}}\)