imaginalis liczby ?

[sesese]

\(\displaystyle{ \Im \frac{1+zi}{1-zi} =1}\)

1. czy moge mnozyc przz \(\displaystyle{ \frac{i}{i}}\) ??
2. gdy mnoze przez sprzezenie nadal w mianowniku zostaje iloczyn z i . Nie wiem co z tym poczac
3. Doszedlem do postaci mianownika \(\displaystyle{ 1-(x+yi) ^{4}}\) ale tez zostaje i w mianowniku

Nie wiem co to jest Im z ale nie moge w tym wypadku tego wyznaczyc HELP

[soku11]

1. Możesz, tylko nie wiem po co
2. \(\displaystyle{ \Im}\), to część urojona liczby zespolonej.
3. Ogólnie polecam to rozwiązać np. tak (pomijając dziedzinę):
\(\displaystyle{ $\begin{eqnarray*}
\Im \frac{1+zi}{1-zi} &=& 1 \\
\Im \frac{1+(x+iy)i}{1-(x+iy)i} &=& 1 \\
\Im \frac{1+xi-y}{1-(xi-y)} &=& 1 \\
\Im \frac{(1-y)+xi}{(1+y)-xi} &=& 1 \\
\Im \frac{ [(1-y)+xi] [(1+y)+xi] }{[(1+y)-xi] [(1+y)+xi]} &=& 1 \\
\Im \frac{ 1-y^2+xi(1-y)+xi(1+y)-x^2 }{(1+y)^2+x^2} &=& 1 \\
\Im \frac{ 1-y^2+2xi-x^2 }{(1+y)^2+x^2} &=& 1 \\
\Im \frac{ (1-y^2-x^2)+(2x)i}{(1+y)^2+x^2} &=& 1 \\
\Im \left( \frac{ (1-y^2-x^2)}{(1+y)^2+x^2}+i\frac{2x}{(1+y)^2+x^2} &=& 1 \\
\frac{2x}{(1+y)^2+x^2} &=& 1 \\
2x &=& (1+y)^2+x^2\\
&\ldots&
\end{eqnarray*}}\)

Pozdrawiam.

[sesese]

Dzieki za pelne rozwiazanie widze ze jeszcze musze pocwiczyc

[xiikzodz]

\(\displaystyle{ \frac{1+zi}{1-zi}=\frac{(1+zi)(1-\overline {zi})}{|1-zi|^2}=\frac{1+|z|^2+iz+i\overline z}{|1-zi|^2}}\)

Zatem część urojona tej liczby to:

\(\displaystyle{ \frac{z+\overline z}{|1-zi|^2}=\frac{2\Re(z)}{|1-zi|^2}}\).

Rozwiązujemy więc równanie:

\(\displaystyle{ |1-zi|^2=2\Re(z)}\)

dopiero teraz podstawiając \(\displaystyle{ z=x+yi}\):

\(\displaystyle{ |1-xi+y|^2=2x}\)

Skąd:

\(\displaystyle{ (1+y)^2+x^2=2x}\)

[sesese]

\(\displaystyle{ \frac{1+zi}{1-zi}=\frac{(1+zi)(1-\overline {zi})}{|1-zi|^2}=\frac{1+|z|^2+iz+i\overline z}{|1-zi|^2}}\) czmu tu jest \(\displaystyle{ 1+|z|^2+iz+i\overline z}}\) a nie \(\displaystyle{ 1+|z|^2+iz-i\overline z}}\)?

[xiikzodz]

Bo:

\(\displaystyle{ \overline i=-i}\)

czyli

\(\displaystyle{ \overline{iz}=\overline i\cdot\overline z=-i\cdot \overline z}\).

[sesese]

racja dzieki-- 29 października 2009, 15:27 --i jak ja mam okrag z tego dostac o srodku \(\displaystyle{ 1-i}\) i promienuu \(\displaystyle{ 1}\) ?