Równania z liczbami zespolonymi.

[Hafir]

Oblicz:
\(\displaystyle{ \cos z = 2}\)
Znajdź formułę dla:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \sin kx}\) gdzie \(\displaystyle{ x\in\Re}\)
Proszę o pomoc bo siedzę i nie wiem jak się za to zabrać, dałem po jednym przykładzie i mam nadzieję, że resztę uda mi się zrobić analogicznie. Z góry dziękuję.

[Crizz]

Najpierw równanie:
\(\displaystyle{ cosz=2}\)
\(\displaystyle{ \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=2}\)
\(\displaystyle{ e^{iz}+e^{-iz}=4}\)
Niech \(\displaystyle{ t=e^{iz}}\), wtedy:
\(\displaystyle{ t+\frac{1}{t}=4}\)
\(\displaystyle{ t^{2}+1=4t}\)
...
\(\displaystyle{ t=2-\sqrt{3} \vee t=2+\sqrt{3}}\)

przypadek 1: \(\displaystyle{ t=2-\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ e^{iz}=2-\sqrt{3}}\)
niech \(\displaystyle{ z=x+yi}\)
\(\displaystyle{ e^{-y+ix}=2-\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ e^{-y}(cosx+isinx)=2-\sqrt{3}}\)
Na podstawie kryterium równości liczb zespolonych (równe części rzeczywiste i urojone) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} e^{-y}cosx=2-\sqrt{3} \\ sinx=0 \end{cases}}\)
Z drugiego równania wynika, że \(\displaystyle{ x=k\pi,k\in Z}\).
Stąd \(\displaystyle{ e^{-y}cosx=e^{-y}cos(k\pi)= \begin{cases} e^{-y}:k=2m \\ -e^{-y}:k=2m+1 \end{cases}}\)
(bo \(\displaystyle{ cos\pi=cos3\pi=cos5\pi=...=-1,cos0=cos3\pi=cos5\pi=..=1}\))
Przypadek, kiedy k jest nieparzyste, nie ma sensu, bo \(\displaystyle{ e^{-y}}\) jest zawsze dodatnie, zatem poprawiamy wartość x na \(\displaystyle{ x=2k\pi,k\in Z}\), wtedy
\(\displaystyle{ e^{-y}=2-\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ y=-ln(2-\sqrt{3})}\)
\(\displaystyle{ z=2k\pi-iln(2-\sqrt{3}),k\in Z}\)
Analogicznie rozwiązujesz drugi przypadek, tzn. \(\displaystyle{ e^{iz}=2+\sqrt{3}}\)

[Hafir]

ok, dzięki. Mam tylko pytanie czy jeśli dojdę do miejsca, gdzie \(\displaystyle{ e^{iz}=2-\sqrt{3}}\) mogę zamiast przechodzić na wzór trygonometryczny wyciągnąć logarytm?
\(\displaystyle{ iz = \ln(2+\sqrt{3})}\) ?

[Crizz]

Hmmm... obawiam się, że nie, logarytm z liczb zespolonych jest zupełnie inaczej zdefiniowany niż na liczbach rzeczywistych. Tutaj zgadzałoby się to raczej przypadkowo, a otrzymałbyś tylko jedno rozwiązanie zamiast całej serii.

Teraz suma:

Dla dowolnego naturalnego k zachodzi \(\displaystyle{ e^{ikx}=cos(kx)+isin(kx)}\)
Wynika stąd, że \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}e^{ikx}= \sum_{k=0}^{n}(coskx+isinkx)}\)
Znajdziemy wzór na sumę z lewej strony, a następnie znajdziemy wzór na twoją sumę jako część urojoną otrzymanej liczby.

Korzystając ze wzoru na sumę wyrazów ciągu eometrycznego, mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}e^{ikx}= \frac{1-(e^{ix})^{n+1}}{1-e^{ix}}=\frac{1-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}= \frac{1-cos(n+1)x-isin(n+1)x}{1-cosx-isinx}=\frac{ 2sin^{2}\frac{(n+1)x}{2} -i2 sin\frac{(n+1)x}{2}cos\frac{(n+1)x}{2} }{2sin^{2}\frac{x}{2}-2isin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}= \frac{sin\frac{(n+1)x}{2}}{sin\frac{x}{2}} \cdot \frac{ sin\frac{(n+1)x}{2}-icos\frac{(n+1)x}{2} }{sin\frac{x}{2}-icos\frac{x}{2}} \cdot \frac{i}{i}= \frac{sin\frac{(n+1)x}{2}}{sin\frac{x}{2}} \cdot \frac{ cos\frac{(n+1)x}{2}+isin\frac{(n+1)x}{2} }{cos\frac{x}{2}+icos\frac{x}{2}}= \frac{sin\frac{(n+1)x}{2}}{sin\frac{x}{2}} \cdot \frac{ (cos\frac{x}{2}+isin\frac{x}{2})^{n+1} }{cos\frac{x}{2}+icos\frac{x}{2}}= \\ = \frac{sin\frac{(n+1)x}{2}}{sin\frac{x}{2}} \cdot (cos\frac{nx}{2}+isin\frac{nx}{2})}\)
i część urojona tej liczby wynosi \(\displaystyle{ \frac{sin\frac{(n+1)x}{2} \cdot sin\frac{nx}{2}}{sin\frac{x}{2}}}\).