Narysować na płaszyczyźnie zespolonej

[smieja]

\(\displaystyle{ Im \frac{1+iz}{1-iz}=1}\)

\(\displaystyle{ Im \frac{1- z^{2} }{1+ z^{2} }+ \frac{2z}{1+ z^{2} }i=1}\)

\(\displaystyle{ \frac{2z}{1+ z^{2} }=1}\)

\(\displaystyle{ 2x+2yi=1+x^{2}+2xyi-y^{2}}\)

Próbowałem tak to zrobić, teraz nie za bardzo wiem co z tym ostatnim równaniem, tak na oko wyglada to na równanie okręgu ale co Im?

[steal]

\(\displaystyle{ \frac{2z}{1+z^2}=1 \iff 2z=1+z^2 \iff (z-1)^2=0 \iff z=1}\)

[smieja]

No tak ale jak to na rysować na układzie współrzędnych, powinien wyjść okrąg.

[steal]

Aj wybacz, moje niedopatrzenie - nie możesz przejść z drugiej do trzeciej linijki w ten sposób jaki pokazałeś. Należy najpierw w ułamku \(\displaystyle{ \frac{1+iz}{1-iz}}\) przedstawić liczbę zespoloną jako sumę części rzeczywistej i urojonej \(\displaystyle{ z=x+iy}\), a następnie zredukować do wyrażenia \(\displaystyle{ =\frac{1-y^2-x^2}{(1+y)^2+x^2}+i\frac{2x}{(1+y)^2+x^2}}\) .Dopiero wtedy można podstawić do podanej przez ciebie równości.

[Maciej87]

\(\displaystyle{ Im \frac{1- z^{2} }{1+ z^{2} }+ \frac{2z}{1+ z^{2} }i=1}\)

\(\displaystyle{ \frac{2z}{1+ z^{2} }=1}\)

to jest nieprawda

A i tak jak jest w poście wyżej, coś już wychodzi

[smieja]

A mam jeszcze pytanie odnośnie tej redukcji, jak się pozbyć częsci urojonej z mianownika?

\(\displaystyle{ \frac{1+i(x+yi)}{1-i(x+yi)} \cdot \frac{1+i(x+yi)}{1+i(x+yi)}}\)

Jeżeli tak pomnożę to w mianowniku otrzymam \(\displaystyle{ 1+ x^{2} -2xyi+ y^{2}}\) i nie za bardzo wiem co dalej z tym zrobić...

[steal]

Redukcja części urojonej z mianownika opiera się na zależności:
\(\displaystyle{ z\cdot\overline{z}=|z|=\sqrt{x^2+y^2}}\)
Czyli musisz przedstawić mianownik w postaci \(\displaystyle{ x+iy}\), a więc \(\displaystyle{ 1-i(x+iy)=1-ix+y=(1+y) + ix}\) i dopiero teraz mnożysz to przez sprzężenie.