Nierówność z liczbą zespoloną i arcusem

[Pablopablo]

Witam!
Mam takie zadanko
\(\displaystyle{ \arcsin |z+i| > \frac{\Pi}{6}}\)
, a niestety nikt mnie jeszcze nie uczył jak rozwiązywać nierówności z funkcjami cyklometrycznymi, więc oto co ja zrobiłem:
\(\displaystyle{ \arcsin |z+i| > \frac{\Pi}{6} \\
\arcsin \alpha = \frac{\Pi}{6} \ \wedge \ \alpha \in <-1,1> \ \Leftrightarrow \sin \frac{\Pi}{6} = \alpha \ \Rightarrow \ \alpha = \frac{1}{2} \\
\arcsin |z+i| > \arcsin \frac{1}{2} \\
|z+i| > \frac{1}{2}}\)
A więc rozwiązaniem jest zbiór punktów leżących poza kołem o środku -i i promieniu 1/2.
Czy to jest dobrze zrobione? Z góry dziękuję z odp. i pozdrawiam.

[soku11]

Nie do końca Tak bardziej 'matematycznie', to bym to rozwiązał tak:
\(\displaystyle{ |z+i|=
|a+bi+i|=|x+i(y+1)|=\sqrt{x^2+(y+1)^2}\\
\arc\sin \alpha>\frac{\pi}{6}\;\Rightarrow\; \alpha\in\left[\frac{1}{2};1\right]\\
\frac{1}{2}\le \sqrt{x^2+(y+1)^2}\le 1\\
\frac{1}{4}\le x^2+(y+1)^2\le 1\\}\)

Czyli pierścień o środku w (0,-1), czyli dla płaszczyzny \(\displaystyle{ \Re,\Im}\) właśnie w (0,-i) i promieniu wewnętrznym \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i zewnętrznym \(\displaystyle{ 1}\).

Pozdrawiam.

[Pablopablo]

Rozumiem tok rozumowania i zapewne masz rację, ale skąd w takim razie wynika błąd w moim rozwiązaniu? Można w ogóle porównywać argumenty funkcji cyklometrycznych w nierównościach, uwzględniając fakt czy one w nich rosną czy też nie?

P.S. W sumie to już chyba wiem. Takie porównanie działa jeżeli funkcja jest określona na R. A tutaj trzeba uwzględnić to, że tak nie jest, dobrze myślę?

[soku11]

Jeśli dobrze zrozumiałem, to tak Tobie wyszło \(\displaystyle{ \alpha>\frac{1}{2}}\) i to jest dobrze, jednak trzeba uwzględnić dziedzinę, którą sam na \(\displaystyle{ \alpha}\) nałożyłeś (przedział \(\displaystyle{ -1;1}\)).

Pozdrawiam.

[Pablopablo]

No ja sam nic nie nakładałem, tylko taka jest definicja arcsin Ale ok, teraz już rozumiem. Dzięki za pomoc, pozdrawiam!