wzór de Movier'a oraz dwumian Newtona

silvaran · Post autor: **silvaran** » 22 paź 2009, o 19:52

\(\displaystyle{ cos ^{5} x =}\)
Przedstawić w postaci sumy \(\displaystyle{ sin}\) i \(\displaystyle{ cos}\) wielokrotności kąta \(\displaystyle{ x}\)

nuclear · Post autor: **nuclear** » 22 paź 2009, o 20:03

ogólnie rzecz biorąc to musisz policzyć takie równanie
\(\displaystyle{ (cos \alpha +isin\alpha)^5}\)
z jednej strony korzystając ze wzoru de Moivre'a a z drugiej z dwumianu newtona po czym przyrównaj części rzeczywiste.

silvaran · Post autor: **silvaran** » 22 paź 2009, o 20:10

a mógłbyś trochę jeszcze przybliżyć?:)
bo nie za bardzo rozumiem po co mi ten dwumian newtona do szczęścia?

nuclear · Post autor: **nuclear** » 22 paź 2009, o 20:18

co tu więcej rozpisywać z wzoru de Movier'a dostajesz

\(\displaystyle{ (cos \alpha +isin\alpha)^5=(cos 5\alpha +isin5 \alpha)}\)

dwumianu newtona nie rozpisuje bo to jest trywialne.
po czym będziesz musiał przyrównać części rzeczyste (czyli te wyrazy co nie zawierają i)

silvaran · Post autor: **silvaran** » 22 paź 2009, o 20:25

no i znalazłem takie coś
\(\displaystyle{ \sin nx = \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} \cosx^k \sin x^{n-k} \sin \frac{(n-k)\pi}{2}}\)

a jak to jest dla cos?

nuclear · Post autor: **nuclear** » 22 paź 2009, o 21:20

nie szukaj w necie tylko rozpisuj jak ja Ci napisałem

umiesz rozpisać takie wyrażenie

\(\displaystyle{ (a+b)^5}\) korzystając z rozwinięcia dwumianu newtona?

silvaran · Post autor: **silvaran** » 22 paź 2009, o 21:23

umiem nawet korzystając z trójkąta pascala
ale czemu do 4 a nie do 5 potęgi?

nuclear · Post autor: **nuclear** » 22 paź 2009, o 21:25

powinno być do 5 poprawione.
już wiesz co masz dalej liczyć?

silvaran · Post autor: **silvaran** » 22 paź 2009, o 22:01

czyli ma mi wyjść takie coś?
\(\displaystyle{ cos5x+isin5x=cos^{5}x+5cos^{4}x \cdot isinx+...+i^{5} \cdot sin^{5}x}\)
i tam gdzie się da \(\displaystyle{ i^{2}}\) lub wielokrotność zamienić na - to zrobić tak? czy bez tego przyrównać do cos5x to co nie ma przy sobie i z prawej strony i poprzerzucać, tak żeby po lewo został \(\displaystyle{ cos^{5}x}\)?

dobra mam to inaczej trochę
cos x przedstawiłem jako sumę liczby zespolonej i jej sprzężenia podzielonego przez 2, nastepnie podniosłem do potęgi 5
\(\displaystyle{ cosx= \frac{1}{2} \cdot (e ^{ix} + e^{-ix}) \\
cos^{5}x= \frac{1}{32} \cdot (e ^{ix} + e^{-ix})^{5}}\)

Pablopablo · Post autor: **Pablopablo** » 25 paź 2009, o 09:41

\(\displaystyle{ z = \cos(5 \alpha ) + i \sin(5 \alpha )=(\cos \alpha + i \sin \alpha )^{5} = \cos^{5}(\alpha ) + 5cos^{4}(\alpha)(i \sin \alpha) + 10cos^{3}(\alpha)(i \sin \alpha)^{2} + 10cos^{2}(\alpha)(i \sin \alpha)^{3} + 5cos(\alpha)(i \sin \alpha)^{4} + (i \sin \alpha)^{5} = (cos^{5} \alpha - 10cos^{3} \alpha sin^{2} \alpha + 5cos \alpha sin^{4} \alpha) + i(5cos^{4} \alpha sin \alpha - 10cos^{2} \alpha sin^{3} \alpha + sin^{5} \alpha)
\\
\cos(5 \alpha ) = Re z \Rightarrow \cos(5 \alpha ) = cos^{5} \alpha - 10cos^{3} \alpha sin^{2} \alpha + 5cos \alpha sin^{4} \alpha \\
\sin(5 \alpha ) = Im z \Rightarrow \sin(5 \alpha ) = 5cos^{4} \alpha sin \alpha - 10cos^{2} \alpha sin^{3} \alpha + sin^{5} \alpha}\)