Obliczyć wartości podanych wyrażeń (postać alg)

[NetJaro]

Witajcie

Jak rozwiązać zadanie o treści:

Oblicz wartości podanych wyrażeń (wynik przedstaw w postaci algebraicznej).

a) \(\displaystyle{ \left(2 \sqrt{3} - 2i \right) ^{30}}\)

b) \(\displaystyle{ \frac{ \left(1+i \right)^{22}}{\left(1-i \sqrt{3}\right)^ {6} }}\)

Dzięki z góry za pomoc

Pozdrawiam,
Marcin.

[Gacuteek]

skorzystaj ze wzoru De Moivre'a

\(\displaystyle{ z^{n}=|z|^{n}(\cos n \varphi +i \sin n \varphi)}\)

[NetJaro]

Dziękuję za pomoc

Mam jeszcze pytanie..

Wychodzi mi \(\displaystyle{ \varphi = \frac{\pi}{6} + 2k\pi}\)

To jak to zapisać?

\(\displaystyle{ 4 ^{30} \left[ cos \left(30 * \frac{\pi}{6} + 2k\pi \right) + isin \left(30 * \frac{\pi}{6} + 2k\pi \right)\right]}\)
Taki zapis jest prawidłowy?
To jest postać algebraiczna..? Chyba trygonometryczna.. a mi chodziło o algebraiczną.

[Gacuteek]

\(\displaystyle{ arg \varphi \in [0,2\pi] \Rightarrow arg \varphi = \frac{\pi}{6}}\)

Teraz oblicz wszystko w nawiasie.. otrzymasz wyrażenie w postaci algebraicznej:

\(\displaystyle{ a+bi , a,b \in \mathbb{R}}\)

[NetJaro]

Czyli wynik końcowy to
\(\displaystyle{ 4 ^{30} \left[ cos \left(30 * \frac{\pi}{6} \right) + isin \left(30 * \frac{\pi}{6} \right)\right]}\)

to po skróceniu daje..

\(\displaystyle{ 4 ^{30} \left[ cos \left(5\pi \right) + isin \left(5\pi \right)\right]}\)

Jak to dalej zrobić..? Da się jakoś obliczyć ten sin(5*pi) i cos(5*pi)?

[Gacuteek]

Funkcje \(\displaystyle{ sin}\)i \(\displaystyle{ cos}\)są okresowe, ich okres wynosi \(\displaystyle{ 2\pi}\).

Jeżeli nie potrafisz obliczyć to sobie po prostu rysunek zrób, powinien pomóc.

[NetJaro]

Ok, dzięki

Wyszło mi
\(\displaystyle{ sin \left(5\pi \right) = 0}\)
\(\displaystyle{ cos\left(5\pi \right) = -1}\)

Czyli..
\(\displaystyle{ \left(2 \sqrt{3} - 2i \right) ^{30} = 4 ^{30} \left[ cos \left(5\pi \right) + isin \left(5\pi \right)\right] = \left(-4\right) ^{30}}\)

Dobrze to jest policzone?

[Gacuteek]

nie sprawdzałem rachunków początkowych..

ale masz jeden błąd w wyniku:

\(\displaystyle{ \left(2 \sqrt{3} - 2i \right) ^{30} = 4 ^{30} \left[ cos \left(5\pi \right) + isin \left(5\pi \right)\right]=(-1) \cdot 4^{30} \neq (-4)^{30}}\)

[NetJaro]

OK, to jeszcze ostatnie pytanie
\(\displaystyle{ \left(2 \sqrt{3} - 2i \right) ^{30}}\)

\(\displaystyle{ \left|z \right| = 4}\)
\(\displaystyle{ y = \frac{-2}{4} = - \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

Mam "zignorować", że y jest ujemne? Bo jak tak, to wtedy pasuje \(\displaystyle{ \varphi = \frac{\pi}{6} + 2k\pi}\)

[Kamil_B]

Nie możesz ignorować tego, że \(\displaystyle{ y}\) jest ujemne.

[NetJaro]

Hm.. to w związku z tym zrobić?
Bo już nie mam pojęcia..

[Kamil_B]

Spokojnie.
Musisz znaleźć taki kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) dla którego \(\displaystyle{ sin(\alpha)=-\frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ cos(\alpha)=\frac{\sqrt{3}}{2}}\).
Narysuj sobie wykresy sinusa i cosinusa i zastanów się ile on wynosi.

[Gacuteek]

\(\displaystyle{ sin \varphi= - \frac{1}{2}}\) dla \(\displaystyle{ x= \frac{7}{6}\pi +2k\pi \vee x= \frac{11}{6}\pi +2k\pi, k \in Z}\)

\(\displaystyle{ cos\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}}\) dla \(\displaystyle{ x=\frac{1}{6}\pi +2k\pi \vee x= \frac{11}{6}\pi +2k\pi , k \in Z}\)

wyznacz element wspólny \(\displaystyle{ (arg \varphi)}\)w przedziale \(\displaystyle{ [0,2\pi]}\)

[NetJaro]

Dzięki

Czyli \(\displaystyle{ \varphi = \frac{11}{6} + 2k\pi}\)?

\(\displaystyle{ \left(2 \sqrt{3} - 2i \right) ^{30} = 4 ^{30} \left[ cos \left(55\pi \right) + isin \left(55\pi \right)\right]}\)
tak?

[Gacuteek]

\(\displaystyle{ \varphi \in [0,2\pi] \Rightarrow \varphi = \frac{11}{6}\pi}\)