liczby zespolone - równania, postać trygonometryczna

[alcia2203]

witam
mam pewien problem. Otóż liczby zespolone to dla mnie czarna magia. Jeszcze dodawanie czy odejmowanie, mnożenie to jakoś ale już bardziej skomplikowane działania, równania i postać trygonometryczna to totalna klapa. Niestety mam trochę zadań z tego więc chciałabym prosićtu na forum kogoś o szczegółowe wskazówki i rady jak to rozwiązać. Zamieszczę po jednym przykładzie z każdego typu zadań bo nie ma sensu wszystkich. Mam nadzieję, że jak zrozumiem jak zrobić jeden to kolejne 10 jakoś dam radę. Z góry dzięki za pomoc.

zad. 1
obliczyć nie korzystając z postaci trygonometrycznej ale rozwiązując odpowiedni układ równań
\(\displaystyle{ \sqrt{-11+60i}}\)

zad. 2
rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ x^{4}+8=0}\)

zad. 3
obliczyć
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-27i}; \sqrt[4]{-8+8 \sqrt{3i}}}\)

zad. 4
obliczyć korzystając z wzoru de Moivre'a
\(\displaystyle{ ( 2\sqrt{3}-2i)^{30}}\)

zad. 5
przedstawić w postaci trygonometrycznej liczby
z=7+7i

[soku11]

1. Czyli z definicji szukamy liczby 'z':
\(\displaystyle{ \sqrt{-11+60i}=z\\
z^2=-11+60i\\
(a+bi)^2=-11+60i\\
a^2-b^2+2abi=-11+60i\\
\begin{cases}
a^2-b^2=-11\\
ab=30
\end{cases}\\
\ldots}\)

2. Zamiana na postać trygonometryczną i policzenie z de Moivre'a:
\(\displaystyle{ x^4+8=0\\
x^4=-8\\
x^4=8(-1)=8(\cos\pi+i\sin\pi)\\
x_k=\sqrt[4]{8}\left( \cos \frac{\pi+2k\pi}{4}+i\sin\frac{\pi+2k\pi}{4} \right),\;\;k\in\{0,1,2,3\}\\}\)

3. Połączenie pierwszego z drugim. Czyli wyznaczamy 'z' w potędze, a później zamieniamy drugą stronę na postać trygonometryczną i z de Moivre'a.

4. Wyciągnąć 4 z nawiasu i zamienić na postać trygonometryczną. Później znany wzór z polecenia

5. Wyciągnij \(\displaystyle{ 7\sqrt{2}}\), to dostaniesz ładną postać, którą bez problemu zamienisz na postać trygonometryczną.

Pozdrawiam.

[alcia2203]

wielkie dzięki z pewnością mi to pomoże przynajmniej mam taką nadzieję
pozdrawiam