Pierwiastki zespolone i nie tylko.

[_Mithrandir]

Mam zadanie do sprawdzenia:

"Jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego jest punkt \(\displaystyle{ z_0=1+2i}\). Wyznaczyć pozostałe wierzchołki tego trójkąta, jeżeli jego środkiem ciężkości jest punkt z=0."

Pozostałe dwa wierzchołki wyliczone przeze mnie:

\(\displaystyle{ z_1=(-\frac{1}{2} - \sqrt{3}) + (- \frac{\sqrt{3}}{2} - 1)i}\)
\(\displaystyle{ z_2=(-\frac{1}{2} + \sqrt{3}) + (- \frac{\sqrt{3}}{2} + 1)i}\)

Czy dobrze je wyliczyłem?

Teraz drugie zadanie: obliczyć:

1) \(\displaystyle{ \sqrt[12]{-3+3\sqrt{3}i}=...}\)
I tutaj pytanie - jaki jest najszybszy sposób, żeby obliczyć te 12 pierwiastków?

Rozwiązać równanie:

2) \(\displaystyle{ (z-i)^4 = (z+i)^4}\)
Od czego tu zacząć? Podstawić z=x+yi, a potem zamienić na postać trygonometryczną i z wzorów de Moivre'a czy inaczej?

[Maciej87]

Co do drugiego: podzielić i sprowadzić do równania \(\displaystyle{ w^4=1}\)

[soku11]

Chyba nie. Naszkicowałem sobie te punkty i nie za bardzo układają się w trójkąt równoramienny :/

1) Najlepiej zacząć tak:
\(\displaystyle{ \sqrt[12]{-3+3\sqrt{3}i}=
\sqrt[12]{3}\sqrt[12]{-1+\sqrt{3}i}=
\sqrt[12]{6}\sqrt[12]{-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}=\ldots}\)

Dalej na zamieniasz na postać trygonometryczną (teraz się już da:D) oraz stosujesz wzory de Moivre'a.

2)
\(\displaystyle{ (z-i)^4 = (z+i)^4\\
(z-i)^4 - (z+i)^4=0\\}\)
\(\displaystyle{ [(z-i)^2]^2 - [(z+i)^2]^2=0\\}\)
\(\displaystyle{ [(z-i)^2-(z+i)^2] [(z-i)^2+(z+i)^2]=0\\}\)
\(\displaystyle{ (z-i-z-i)(z-i+z+i)(z^2-2zi+i^2+z^2+2zi+i^2)=0\\
(-2i)(2z)(2z^2-2)=0\\
\ldots}\)

Dalej już łatwo
Pozdrawiam.

[_Mithrandir]

No właśnie mi też się te wierzchołki nie podobały. Więc jak to zadanie z trójkątem zrobić?


1) Już wszystko jasne

2) Czyli tu wyjdzie i=0 lub z=0 lub z=1 lub z=-1?

A jeszcze jedno, oznaczę jako 3):

\(\displaystyle{ \sqrt{4i-3}=...}\)

Wychodzi mi, że: \(\displaystyle{ \cos \varphi = - \frac{3}{5}}\) i \(\displaystyle{ \sin \varphi = \frac{4}{5}}\)

Trochę mi nie pasują te liczby, to jest dobrze?

[soku11]

Na trójkąt nie mam teraz siły, więc powstrzymam się od odpowiedzi

2) \(\displaystyle{ i}\) traktujesz jako zwykłą liczbę (bo nią właśnie jest), więc to nie jest rozwiązanie. To tak jakbyś napisał \(\displaystyle{ 2=0}\) Rozwiązania są tylko 3: -1,0,1.

3) Dobrze zrobiłeś. Tutaj jednak tym sposobem tego się nie zrobi. Trzeba skorzystać z definicji. Czyli szukamy liczby z:
\(\displaystyle{ \sqrt{4i-3}=z\\
z^2=-3+4i\\
(a+bi)^2=-3+4i\\
a^2-b^2+2abi=-3+4i\\
\begin{cases}
a^2-b^2=-3\\
ab=2
\end{cases}}\)

Pozostaje tylko to rozwiązać
Pozdrawiam.