Wzór Moivre'a (prawdopodobnie).

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
_Mithrandir
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 584
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 309 razy
Pomógł: 6 razy

Wzór Moivre'a (prawdopodobnie).

Post autor: _Mithrandir »

Muszę obliczyć takie coś:

\(\displaystyle{ \frac{(1+i)^{100}}{(1-i)^{96} + (1+i)^{96}}=...}\)

Można tu zastosować wzór Moivre'a po sprowadzeniu do postaci trygonometrycznej, ale to wygląda na przykład, który da się rozwiązać w jakiś sprytny sposób. Wie ktoś może w jaki?
Czoug
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 205
Rejestracja: 15 wrz 2009, o 10:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Pomógł: 29 razy

Wzór Moivre'a (prawdopodobnie).

Post autor: Czoug »

moze tak(nie jestem calkiem pewien):
\(\displaystyle{ ((1-i)^2))^{48}=(-2i)^{48}= 2i^{48} \quad ((1+i)^2))^{48}= 2i^{48} \quad (1+i)^{100}= ...}\)
no i juz widac;]
Awatar użytkownika
kp1311
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 475
Rejestracja: 20 maja 2009, o 15:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarzecze
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 49 razy

Wzór Moivre'a (prawdopodobnie).

Post autor: kp1311 »

Skorzystam sobie z tego że \(\displaystyle{ (1 - i)^2 = 1 -2i -1 = -2i}\).\(\displaystyle{ (1+i)^{2} = (1 +2i -1)= 2i}\)
i dalej:
\(\displaystyle{ (1 - i)^{4} = [(1 -i)^{2}]^{2} = [-2i]^{2}=4i^{2}= -4 = [2i]^{2}= (1+i)^{4}}\)
czyli: \(\displaystyle{ (1 - i)^{4}= (1+i)^{4} = -4}\)
to teraz:
\(\displaystyle{ (1-i)^{96} + (1 +i)^{96} = [(1-i)^{4}]^{24} + [(1 +i)^{4}]^{24} = 2 \cdot (-4)^{24}}\)
\(\displaystyle{ (1 + i)^{100}=[(1+i)^{4}]^{25} = (-4)^{25}}\)
ostatecznie więc wartość całego wyrażenia to \(\displaystyle{ -2}\).
_Mithrandir
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 584
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 309 razy
Pomógł: 6 razy

Wzór Moivre'a (prawdopodobnie).

Post autor: _Mithrandir »

Wygląda ok, dzięki za pomoc
ODPOWIEDZ