Udowodnij że tożsamość

[Duke]

Witam, mam udowodnić takie równanie, już próbowałem na parę sposobów, ale gdzieś psuję obliczenia.

Niech \(\displaystyle{ z_{1} z_{2} \in C}\) ponadto \(\displaystyle{ u= \sqrt{z_{1}* z_{2} }}\)
Udowodnij że :

\(\displaystyle{ |z_{1}|+ |z_{2}| = | \frac{z_{1}+z_{2}}{2} - u| + | \frac{z_{1}+z_{2}}{2} + u |}\)

Próbowałem zwijać do wzoru skróconego mnożenia a potem podnosić obie strony ^2, ale nie tędy chyba droga, proszę o rozwiązanie, bądź jego zdjęcie/skan na PM, bo dużo tutaj pisania.
Dziękuję.

[M Ciesielski]

zauważ czym jest moduł z liczby zespolonej.

[Duke]

Przecież to wychodzi nonsens dla
\(\displaystyle{ z_{1}=a+bi}\)
\(\displaystyle{ z_{2}=a'+b'i}\)
lewa strona jest oczywista, za to prawa

\(\displaystyle{ | \frac{a+a'+i(b+b')-2 \sqrt{aa'-bb'+i(ab'+a'b)} }{2} | + | \frac{a+a'+i(b+b')+2 \sqrt{aa'-bb'+i(ab'+a'b)} }{2} |}\)

I co z tego? nic z tym nie mogę zrobić, bo pierwiastek "blokuje mi" wyjęcie części Re i Im, więc nic z tego
Tylko niech nikt nie pisze podnieś do ^x.
Proszę niech to ktoś rozwiąże

[frej]

Do kwadratu i \(\displaystyle{ \left| z \right|^2 = z \cdot \overline{z}}\).

[Duke]

Nie to nie działa bo jak mam sprzężyć liczbę zespoloną gdzie jej część jest pod pierwiastkiem itd. Czy ktoś z Was to rozwiązał, czy tylko strzelacie? Podchodziłem do tego zadania już z kilkanaście razy to nie wychodzi, więc proszę jakieś rozwiązanie, bo na razie to jest niemożliwe.. ;|

[Maciej87]

Niech \(\displaystyle{ u^2 = ab}\).
Bediemy stosować wzór \(\displaystyle{ |u+v|^2+|u-v|^2 = 2|u|^2 + 2|v|^2}\)

\(\displaystyle{ \left|\frac{a+b}{2}+u\right|^2+\left|\frac{a+b}{2}-u\right|^2 = 2\left|\frac{a+b}{2}\right|^2+2|u|^2}\)
Dalej,
\(\displaystyle{ 2\left|\frac{a+b}{2}+u\right|\cdot \left|\frac{a+b}{2}-u\right| = 2\left|\left(\frac{a+b}{2}\right)^2-u^2 \right|=2\left|\frac{a-b}{2}\right|^2}\)
Zatem
\(\displaystyle{ \left(\left|\frac{a+b}{2}+u\right|+\left|\frac{a+b}{2}-u\right| \right)^2 =
\frac{1}{2}\left( \left|a+b\right|^2+\left|a-b\right|^2\right)+2|u|^2 = |a|^2+|b|^2+2|ab| = \left(|a|+|b|\right)^2}\)

[krasnal5555]

Jak udowodnić tamten wzór?

\(\displaystyle{ |u+v|^2+|u-v|^2 = 2|u|^2 + 2|v|^2}\)

[frej]

\(\displaystyle{ \left| u+v \right|^2= \left( u+v\right) \left( \overline{u} + \overline{v} \right)= \left| u \right|^2 + \left| v \right|^2 +u\overline{v} + \overline{u}v}\)
\(\displaystyle{ \left| u-v \right|^2= \left( u-v\right) \left( \overline{u} - \overline{v} \right)= \left| u \right|^2 + \left| v \right|^2 -u\overline{v} - \overline{u}v}\)

[gower9]

Dlaczego

\(\displaystyle{ |u+v|^{2}=(u+v)(\overline{u}+\overline{v})\quad\hbox{i}\\
|u-v|^{2}=(u-v)(\overline{u}-\overline{v})\hbox{?}}\)

edit: Już zauważyłem, sorry za głupie pytanie...