Rozwiąż, w zbiorze liczb zespolonych...

[Rafcio'o]

Rozwiąż, w zbiorze liczb zespolonych, równanie \(\displaystyle{ \vec{z} * z ^{4} = \frac{1}{z}}\).
(zamiast wektora ma tam być kreseczka, ale nie mogłem jej znaleźć)
Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu.

[Brzytwa]

\(\displaystyle{ \overline{z} \cdot z ^{4} = \frac{1}{z}}\)

\(\displaystyle{ \overline{z} \cdot z ^{5} = 1}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ | \overline{z} | = |z|}\), tak więc \(\displaystyle{ |z|=1}\). Zatem:

\(\displaystyle{ \overline{z} \cdot z \cdot z ^{4} = 1}\)

\(\displaystyle{ |z| \cdot z ^{4} = 1}\)

\(\displaystyle{ z= \sqrt[4]{1}}\)

Łatwo sprawdzić, że wszystkie pierwiastki są rozwiązaniem powyższego równania.

[Rafcio'o]

Łał, dziękuję pięknie.
Spodziewałem się, że nie jest trudne, ale nie że aż tak krótkie.