Dla jakich wartości parametru, r-nie ma rozw. zespolone?

[emperor2]

Witam,
jak coś takiego ugryźć?

Dla jakich liczb całkowitych k, równanie:
\(\displaystyle{ \left| x-(1+i)^{k} \right| =x}\)
ma rozwiązanie zespolone?

[frej]

Moduł jest liczbą rzeczywista, więc \(\displaystyle{ x}\) też musi być. Podnosząc do kwadratu i korzystając z wzoru na różnicę kwadratów mamy:
\(\displaystyle{ -(1+i)^k \cdot (2x-(1+i)^k)=0}\)
Skoro równanie to ma mieć rozwiązanie w liczbach rzeczywistych, to \(\displaystyle{ (1+i)^k \in \mathbb{R}}\). To jest zaś prawdą dla \(\displaystyle{ 4l \; l\in \mathbb{Z}}\) (korzystamy tutaj z de Moivre'a).

[emperor2]

Dzięki, jeszcze tylko pytanie - dlaczego moduł jest liczbą rzeczywistą?

[Rogal]

A co to jest moduł?

[xiikzodz]

Trochę zbyt prosto. Na przykład dla \(\displaystyle{ k=4}\) mamy:

\(\displaystyle{ |x-(1+i)^4|=|x-(-4)|=|x+4|}\)

lecz rownanie:

\(\displaystyle{ |x+4|=x}\)

nie ma rozwiązań. Błąd polega na tym, że:

\(\displaystyle{ |x-(1+i)^k|^2-x^2}\)

na ogół nie jest równe:

\(\displaystyle{ -(1+i)^k(2x-(1+i)^k)}\).

Rownanie to ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy reszta z dzielenia k przez 8 należy do zbioru \(\displaystyle{ \{0,1,-1\}}\).

Gdy \(\displaystyle{ k=8m+1}\)

wówczas tym rozwiązaniem jest

\(\displaystyle{ x=\mbox{Re}((1+i)^k)=16^m}\)

Gdy \(\displaystyle{ k=8m-1}\)

to

\(\displaystyle{ x=\mbox{Re}((1+i)^k)=\frac{16^m}2}\)

natomiast gdy \(\displaystyle{ k=8m}\)

to

\(\displaystyle{ x=\frac{(1+i)^n}2=\frac{16^m}{2}}\).

[frej]

Oczywiście, przepraszam za wprowadzenie w błąd