równanie potęgowe liczby zespolonej

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
anett112
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 8 paź 2009, o 13:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: woj.lubelskie

równanie potęgowe liczby zespolonej

Post autor: anett112 »

Witam, proszę o wszelką pomoc z równaniem:
\(\displaystyle{ (z+2) ^{n} +(z-2) ^{n} =0}\)
Czekam na wszelkie propozycje rozwiązania. Z góry dziękuję.
Ostatnio zmieniony 12 paź 2009, o 09:29 przez czeslaw, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Cały kod LaTeX-a umieszczaj w tagach [latex].
Kamil_B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1958
Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 361 razy

równanie potęgowe liczby zespolonej

Post autor: Kamil_B »

Zauważ np, że \(\displaystyle{ z=2}\) nie jest pierwiastkiem tego równania i podziel obie strony przez \(\displaystyle{ (z-2)^{n}}\).
anett112
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 8 paź 2009, o 13:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: woj.lubelskie

równanie potęgowe liczby zespolonej

Post autor: anett112 »

no i co mam dalej z tym zrobić, bo jakoś nie mogę zrozumieć. Mógłbyś mi to bardziej rozpisać, była bym wdzięczna i sorki za kłopot.Pozdrawiam
na07
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 146
Rejestracja: 25 sie 2008, o 20:01
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 17 razy

równanie potęgowe liczby zespolonej

Post autor: na07 »

Ja też chciałabym wiedzieć. I co dalej?
podzieliłam i

\(\displaystyle{ (\frac{z+2}{z-2}) ^{n} =-1}\)

i co pierwiastkujemy?

\(\displaystyle{ \frac{z-2+4}{z-2} = \sqrt[n]{-1}}\)

\(\displaystyle{ 1+ \frac{4}{z-2} = \sqrt[n]{-1}}\)

...

\(\displaystyle{ z= \frac{4}{ \sqrt[n]{-1} -1} +2}\)

Wprawdzie liczby zespolone były dawno, ale...
Ale skoro z to jest liczba zespolona to chyba powinno się zapisać w postaci z=a+bi ?
anett112
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 8 paź 2009, o 13:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: woj.lubelskie

równanie potęgowe liczby zespolonej

Post autor: anett112 »

a i właśnie chyba sqrt[]{-1} to po prostu ,,i" , i wtedy będzie postać liczby zespolonej. Mam rację? czy się może mylę?

-- 12 paź 2009, o 10:25 --

sqrt[n]{-1} = i ??-- 12 paź 2009, o 10:26 --sqrt[-1]{n}
Kamil_B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1958
Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 361 razy

równanie potęgowe liczby zespolonej

Post autor: Kamil_B »

Moim zdaniem rozwiązanie na07 jest raczej w porządku.
Należy pamiętać jednak, że równanie \(\displaystyle{ w=\sqrt[n]{-1}}\) ma \(\displaystyle{ n}\) różnych pierwiastków a nie tylko jeden równy \(\displaystyle{ i}\).
Awatar użytkownika
Maciej87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 377
Rejestracja: 26 sty 2009, o 09:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 46 razy

równanie potęgowe liczby zespolonej

Post autor: Maciej87 »

Poza tym w ogólności \(\displaystyle{ i}\) nie jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ x^{n}=-1}\).
Lepiej użyć postaci trygonometrycznej.
anett112
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 8 paź 2009, o 13:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: woj.lubelskie

równanie potęgowe liczby zespolonej

Post autor: anett112 »

Zatem sqrt[n]{-1} to będzie równe i cdot n??-- 12 paź 2009, o 11:10 --a mógłbyś powiedzieć jak byś rozwiązywał ten przykład z postaci trygonometrycznej??
Awatar użytkownika
Maciej87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 377
Rejestracja: 26 sty 2009, o 09:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 46 razy

równanie potęgowe liczby zespolonej

Post autor: Maciej87 »

Jednym z pierwiastków \(\displaystyle{ -1}\) jest niewątpliwie \(\displaystyle{ w_0=e^{\frac{\pi i}{n}}}\).
Wtedy każdy pierwiastek z \(\displaystyle{ -1}\) jest postaci
\(\displaystyle{ w= w_0 \varepsilon_n}\),
gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon_n}\) jest którymkolwiek z \(\displaystyle{ n-}\)tych pierwiastków \(\displaystyle{ 1}\).
ODPOWIEDZ