równanie potęgowe liczby zespolonej
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 8 paź 2009, o 13:25
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: woj.lubelskie
równanie potęgowe liczby zespolonej
Witam, proszę o wszelką pomoc z równaniem:
\(\displaystyle{ (z+2) ^{n} +(z-2) ^{n} =0}\)
Czekam na wszelkie propozycje rozwiązania. Z góry dziękuję.
\(\displaystyle{ (z+2) ^{n} +(z-2) ^{n} =0}\)
Czekam na wszelkie propozycje rozwiązania. Z góry dziękuję.
Ostatnio zmieniony 12 paź 2009, o 09:29 przez czeslaw, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Cały kod LaTeX-a umieszczaj w tagach[latex].
Powód: Cały kod LaTeX-a umieszczaj w tagach
-
- Użytkownik
- Posty: 1958
- Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 361 razy
równanie potęgowe liczby zespolonej
Zauważ np, że \(\displaystyle{ z=2}\) nie jest pierwiastkiem tego równania i podziel obie strony przez \(\displaystyle{ (z-2)^{n}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 8 paź 2009, o 13:25
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: woj.lubelskie
równanie potęgowe liczby zespolonej
no i co mam dalej z tym zrobić, bo jakoś nie mogę zrozumieć. Mógłbyś mi to bardziej rozpisać, była bym wdzięczna i sorki za kłopot.Pozdrawiam
-
- Użytkownik
- Posty: 146
- Rejestracja: 25 sie 2008, o 20:01
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 17 razy
równanie potęgowe liczby zespolonej
Ja też chciałabym wiedzieć. I co dalej?
podzieliłam i
\(\displaystyle{ (\frac{z+2}{z-2}) ^{n} =-1}\)
i co pierwiastkujemy?
\(\displaystyle{ \frac{z-2+4}{z-2} = \sqrt[n]{-1}}\)
\(\displaystyle{ 1+ \frac{4}{z-2} = \sqrt[n]{-1}}\)
...
\(\displaystyle{ z= \frac{4}{ \sqrt[n]{-1} -1} +2}\)
Wprawdzie liczby zespolone były dawno, ale...
Ale skoro z to jest liczba zespolona to chyba powinno się zapisać w postaci z=a+bi ?
podzieliłam i
\(\displaystyle{ (\frac{z+2}{z-2}) ^{n} =-1}\)
i co pierwiastkujemy?
\(\displaystyle{ \frac{z-2+4}{z-2} = \sqrt[n]{-1}}\)
\(\displaystyle{ 1+ \frac{4}{z-2} = \sqrt[n]{-1}}\)
...
\(\displaystyle{ z= \frac{4}{ \sqrt[n]{-1} -1} +2}\)
Wprawdzie liczby zespolone były dawno, ale...
Ale skoro z to jest liczba zespolona to chyba powinno się zapisać w postaci z=a+bi ?
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 8 paź 2009, o 13:25
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: woj.lubelskie
równanie potęgowe liczby zespolonej
a i właśnie chyba sqrt[]{-1} to po prostu ,,i" , i wtedy będzie postać liczby zespolonej. Mam rację? czy się może mylę?
-- 12 paź 2009, o 10:25 --
sqrt[n]{-1} = i ??-- 12 paź 2009, o 10:26 --sqrt[-1]{n}
-- 12 paź 2009, o 10:25 --
sqrt[n]{-1} = i ??-- 12 paź 2009, o 10:26 --sqrt[-1]{n}
-
- Użytkownik
- Posty: 1958
- Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 361 razy
równanie potęgowe liczby zespolonej
Moim zdaniem rozwiązanie na07 jest raczej w porządku.
Należy pamiętać jednak, że równanie \(\displaystyle{ w=\sqrt[n]{-1}}\) ma \(\displaystyle{ n}\) różnych pierwiastków a nie tylko jeden równy \(\displaystyle{ i}\).
Należy pamiętać jednak, że równanie \(\displaystyle{ w=\sqrt[n]{-1}}\) ma \(\displaystyle{ n}\) różnych pierwiastków a nie tylko jeden równy \(\displaystyle{ i}\).
- Maciej87
- Użytkownik
- Posty: 377
- Rejestracja: 26 sty 2009, o 09:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 46 razy
równanie potęgowe liczby zespolonej
Poza tym w ogólności \(\displaystyle{ i}\) nie jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ x^{n}=-1}\).
Lepiej użyć postaci trygonometrycznej.
Lepiej użyć postaci trygonometrycznej.
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 8 paź 2009, o 13:25
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: woj.lubelskie
równanie potęgowe liczby zespolonej
Zatem sqrt[n]{-1} to będzie równe i cdot n??-- 12 paź 2009, o 11:10 --a mógłbyś powiedzieć jak byś rozwiązywał ten przykład z postaci trygonometrycznej??
- Maciej87
- Użytkownik
- Posty: 377
- Rejestracja: 26 sty 2009, o 09:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 46 razy
równanie potęgowe liczby zespolonej
Jednym z pierwiastków \(\displaystyle{ -1}\) jest niewątpliwie \(\displaystyle{ w_0=e^{\frac{\pi i}{n}}}\).
Wtedy każdy pierwiastek z \(\displaystyle{ -1}\) jest postaci
\(\displaystyle{ w= w_0 \varepsilon_n}\),
gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon_n}\) jest którymkolwiek z \(\displaystyle{ n-}\)tych pierwiastków \(\displaystyle{ 1}\).
Wtedy każdy pierwiastek z \(\displaystyle{ -1}\) jest postaci
\(\displaystyle{ w= w_0 \varepsilon_n}\),
gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon_n}\) jest którymkolwiek z \(\displaystyle{ n-}\)tych pierwiastków \(\displaystyle{ 1}\).