Pierwiastki czwartego stopnia

[Marmon]

Niech \(\displaystyle{ w_0 w_1 w_2 w_3}\) beda pierwiastkami czwartego stopnia z \(\displaystyle{ z = 1 + 2j}\). Obliczyc \(\displaystyle{ w_0 +w_1+ w_2 +w_3}\), , \(\displaystyle{ w_0 \cdot w_1\cdot w_2\cdot w_3}\)


Jak to zrobić ?

[Rogal]

Zauważ, że jeśli ustalisz jeden pierwiastek - na przykład \(\displaystyle{ w_{0}}\), to wtedy pozostałe (z dokładnością do permutacji) wyrażą się jako: \(\displaystyle{ w_{1} = -w_{0}, \ w_{2} = iw_{0}, \ w_{3} = -iw_{0}.}\)
A to już Ci powinno wystarczyć do zrobienia zadania.

[Marmon]

Ja nie wiem czy ja to dobrze w ogóle robie ale widziałem gdzieś na forum taki schemat

\(\displaystyle{ z=1+2j \Rightarrow \frac{z}{1+2j}=1 \Rightarrow \sqrt[4]{\frac{z}{1+2j}}=\sqrt[4]{1}}\)
\(\displaystyle{ w=\sqrt[4]{1}}\)
\(\displaystyle{ w_0=1 \wedge w_1=j \wedge w_2=-1 \wedge w_3=-j}\)

\(\displaystyle{ z_0=1+2j \wedge z_1=-2 +j \wedge z_2=-1-2j \wedge z_3=2-j}\)

Może robie to bez sensu ale praktycznie już od rana siedze nad matmą i mało co ogarniam o tej porze :/

[Rogal]

Pomysł zasadza się teoretycznie na tym samym, ale tutaj nic takiego nie musisz robić, bo nikt nie kazał Ci policzyć tych pierwiastków. Po prostu spróbuj skorzystać z tego, co napisałem.

[Marmon]

Racja racja.... suma tych pierwiastków się zeruje
z iloczynu wychodzi \(\displaystyle{ -w_0 ^4}\), a z suma kwadratów (którą pominąłem w tresci) również się zeruje

[Rogal]

No a ile to jest \(\displaystyle{ w_{0}^{4}?}\)

[Marmon]

\(\displaystyle{ -w_{0}^{4}=7-24j}\) tak? bo z tym schemat co mam to oznaczenia trochę się mylą ale wynik powinien być okej.

[Rogal]

A czy nie przypadkiem \(\displaystyle{ w_{k}{4} = z}\)?

[Marmon]

Nie wiem, obliczyłem ten pierwiastek \(\displaystyle{ z_0 = 1+2j}\) tak?
podstawiłem i wyszło tyle ile napisałem. Bo u mnie \(\displaystyle{ w^4=\frac{z}{1+2j}}\) w poście wyżej jest.

[Rogal]

Nie tak. Te \(\displaystyle{ w_{k}}\) to są pierwiastki z zet z pierwszego postu. To zadanie Ci pomagałem rozwiązywać, żadne inne. Więc skup się na jednym.

[Qń]

Ze wzorów Viete'a od razu wynika, że suma pierwiastków równania \(\displaystyle{ z^n=z_0}\) jest równa \(\displaystyle{ 0}\), a ich iloczyn \(\displaystyle{ z_0\cdot (-1)^{n+1}}\) .

Q.

[Marmon]

Sorry ale ja tego jakoś nie ogarniam

\(\displaystyle{ z=1+2j \Rightarrow \frac{z}{1+2j}=1 \Rightarrow \sqrt[4]{\frac{z}{1+2j}}=\sqrt[4]{1}}\)
\(\displaystyle{ w=\sqrt[4]{1}}\)
\(\displaystyle{ w_0=1 \wedge w_1=j \wedge w_2=-1 \wedge w_3=-j}\)

\(\displaystyle{ z_0=1+2j \wedge z_1=-2 +j \wedge z_2=-1-2j \wedge z_3=2-j}\)

kto mi powie co tutaj zrobiłem?

Nie tak. Te w_{k} to są pierwiastki z zet z pierwszego postu. To zadanie Ci pomagałem rozwiązywać, żadne inne. Więc skup się na jednym.

Rogal przecież w tym temacie jest tylko jedno zadanie, o co chodzi, nie rozumiem

Ze wzorów Viete'a od razu wynika, że suma pierwiastków równania \(\displaystyle{ z^n=z_0}\) jest równa \(\displaystyle{ 0}\), a ich iloczyn \(\displaystyle{ z_0\cdot (-1)^n}\) .

Q.

Może i wynika ale wzory Viete'a to ja umiem zastosować tylko dla funkcji kwadratowej tak więc nie wiele mi to tłumaczy Qń

[Rogal]

A kto Ci powinien powiedzieć, co zrobiłeś? Chyba tylko Ty sam.
Ja jednak wskazuje, że nie jest Ci to do niczego potrzebne, bo nic to nie daje tutaj. Że wystarczy zrobić to, co Ci napisałem, jeśli nie znasz wzorów Viete'a dla wielomianu.

[Qń]

Bez wzorów Viete'a:

Pierwiastki czwartego stopnia z \(\displaystyle{ w=1+2i}\) to rozwiązania równania \(\displaystyle{ z^4=w}\). Zauważmy, że jeśli jego rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ z_0}\), czyli \(\displaystyle{ z_0^4=w}\), to wtedy jego rozwiązaniami są także \(\displaystyle{ -z_0, iz_0, -iz_0}\). Zatem pierwiastki czwartego stopnia z \(\displaystyle{ w}\) to \(\displaystyle{ z_0,-z_0, iz_0, -iz_0}\).

Ich suma to:
\(\displaystyle{ z_0-z_0+ iz_0 -iz_0= 0}\)

Ich iloczyn to:
\(\displaystyle{ (z_0)\cdot (-z_0)\cdot ( iz_0)\cdot ( -iz_0)= -z_0^4=-w= -1-2i}\)

Q.

[Marmon]

A kto Ci powinien powiedzieć, co zrobiłeś? Chyba tylko Ty sam.
Ja jednak wskazuje, że nie jest Ci to do niczego potrzebne, bo nic to nie daje tutaj. Że wystarczy zrobić to, co Ci napisałem, jeśli nie znasz wzorów Viete'a dla wielomianu.

No tak spoko
1. Wiem że to niepotrzebne bo da się prościej

2. Pytam się czy to co zrobiłem - czyli wg mnie obliczenie wartości pierwiastków 4 stopnia - jest poprawne? Ponieważ podobny schemat zastosowałem do innych zadań i jeśli okaże się że to jest zła metoda to będę musiał robić jeszcze raz.
Tak więc czy to co zrobiłem - taki sposób obliczania pierwiastków - w ogóle jest poprawne??

Qń ok dzięki łapie już o co chodzi w tej metodzie dużo prostszej akurat dla tego konkretnego zadania.

Pozostawiam pytanie o poprawność schematu mojego rozwiązania, sam schemat bo wynik to coś źle obliczyłem ;P