w \(\displaystyle{ C[x]}\) i \(\displaystyle{ R[x]}\)
\(\displaystyle{ w(z)=z^4 + 6z^2 + 25}\)
WIelomian jest nierozkladalny w R, tak? Podstawilem za \(\displaystyle{ z^2 = t}\) delta wyszła ujemna więc nie da się tego rozłożyć w liczbach rzeczywistych, dobrze mówie?
W \(\displaystyle{ C[x]}\) sobie poradziłem.
Jeszcze jedno pytanie, czy wielomian może być rozłożony tak że w \(\displaystyle{ C[x]}\) i\(\displaystyle{ R[x]}\)wygląda tak samo?
Rozłóż na czynniki nierozkładalne
- Maciej87
- Użytkownik
- Posty: 377
- Rejestracja: 26 sty 2009, o 09:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 46 razy
Rozłóż na czynniki nierozkładalne
Ten wielomian jest rozkładalny w wielomianach rzeczywistych. Tak zwaną Deltą i podstawieniem argumentujesz jedynie, że nie posiada pierwiastków rzeczywistych. To nie oznacza, że nie może się rozłożyć np. na dwa wielomiany kwadratowe (i tak istotnie jest).
Ogólnie wielomiany rzeczywiste rozkładają się zawsze na czynniki stopnia \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 2}\).
Żeby rozkład wyglądał tak samo, wielomian musi być rzeczywisty i mieć wszystkie pierwiastki rzeczywiste.
Ogólnie wielomiany rzeczywiste rozkładają się zawsze na czynniki stopnia \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 2}\).
Żeby rozkład wyglądał tak samo, wielomian musi być rzeczywisty i mieć wszystkie pierwiastki rzeczywiste.
- Marmon
- Użytkownik
- Posty: 475
- Rejestracja: 30 sty 2008, o 16:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wołomin
- Podziękował: 31 razy
- Pomógł: 75 razy
Rozłóż na czynniki nierozkładalne
Czy może mi to ktoś zacny sprawdzić?
\(\displaystyle{ w(z)=z^4 - 3 - 4j}\) rozłożyć w \(\displaystyle{ C[x]}\)
\(\displaystyle{ =z^4 - (3+4j)=(z^2 -\sqrt{3+4j})(z^2 +\sqrt{3+4j})=(z-\sqrt[4]{3+4j})(z+\sqrt[4]{3+4j})(z^2 +\sqrt{3+4j})}\)
\(\displaystyle{ (z^2 +\sqrt{3+4j})=0}\)
\(\displaystyle{ z^2 =-\sqrt{3+4j}}\)
\(\displaystyle{ (\frac{z}{-\sqrt[4]{3+4j}})^2=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{z}{-\sqrt[4]{3+4j}}=w \Rightarrow w^2 =1 \Leftrightarrow w=-1 \vee w=1 \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ z=-\sqrt[4]{3+4j} \vee z=\sqrt[4]{3+4j}}\)
\(\displaystyle{ w(z)=(z-\sqrt[4]{3+4j})^2 (z+\sqrt[4]{3+4j})^2}\)
dobrze jest?
Jak go rozłożyć na dwa kwadratowe? Bo kombinuje, myślę i coś nie wychodzi.
ehh
\(\displaystyle{ (z^2+2z+5)(z^2-2z+5)}\) tak?
chwile zaćmienie miałem heh
\(\displaystyle{ w(z)=z^4 - 3 - 4j}\) rozłożyć w \(\displaystyle{ C[x]}\)
\(\displaystyle{ =z^4 - (3+4j)=(z^2 -\sqrt{3+4j})(z^2 +\sqrt{3+4j})=(z-\sqrt[4]{3+4j})(z+\sqrt[4]{3+4j})(z^2 +\sqrt{3+4j})}\)
\(\displaystyle{ (z^2 +\sqrt{3+4j})=0}\)
\(\displaystyle{ z^2 =-\sqrt{3+4j}}\)
\(\displaystyle{ (\frac{z}{-\sqrt[4]{3+4j}})^2=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{z}{-\sqrt[4]{3+4j}}=w \Rightarrow w^2 =1 \Leftrightarrow w=-1 \vee w=1 \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ z=-\sqrt[4]{3+4j} \vee z=\sqrt[4]{3+4j}}\)
\(\displaystyle{ w(z)=(z-\sqrt[4]{3+4j})^2 (z+\sqrt[4]{3+4j})^2}\)
dobrze jest?
To nie oznacza, że nie może się rozłożyć np. na dwa wielomiany kwadratowe (i tak istotnie jest).
Jak go rozłożyć na dwa kwadratowe? Bo kombinuje, myślę i coś nie wychodzi.
ehh
\(\displaystyle{ (z^2+2z+5)(z^2-2z+5)}\) tak?
chwile zaćmienie miałem heh