Liczby zespolone - zaznacz na płaszczyźnie

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
enterbios
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 8 paź 2009, o 20:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: szczecin
Podziękował: 1 raz

Liczby zespolone - zaznacz na płaszczyźnie

Post autor: enterbios »

Witam
Dostałem do zrobienia zadania z liczb zespolonych z serii "Na płaszczyźnie zespolonej narysuj zbiory spełniające warunki"

Zad. 1.
\(\displaystyle{ Re(iz+5) \geqslant 0}\)

Zad. 2.
\(\displaystyle{ \frac{9}{z}=\overline{z}}\)

Zad. 3.
\(\displaystyle{ Im(\frac{1+iz}{1-iz})=1}\)


Zadanie 1. Zrobiłem ale nie wiem czy dobrze dlatego proszę o sprawdzenie.
\(\displaystyle{ Re(x+yi)i+5\geqslant 0}\) po wymnożeniu nawiasu:
\(\displaystyle{ xi-y+5\geqslant 0}\) i teraz jeśli dobrze zrozumiałem odnoszę się tylko do części Realnej więc opuszczam xi czyli część urojoną i wychodzi:
\(\displaystyle{ y\leqslant5}\) wiec na płaszczyźnie powinienem zaznaczyć punkty poniżej osi y=5 wraz z osią? Jak mam źle to proszę o poprawe z wytłumaczeniem.

Zadanie 2.
\(\displaystyle{ \frac{9}{z}=\overline{z}}\) czyli z tego wychodzi że:
\(\displaystyle{ (x-yi)(x+yi)=9}\) a po wymnożeniu nawiasów:
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}-9=0}\) i w tym momencie nie wiem co dalej

Zadanie 3.
\(\displaystyle{ Im(\frac{1+iz}{1-iz})=1}\) zamieniam z na postać algebraiczną:
\(\displaystyle{ Im(\frac{1+i(x+yi}{1-i(x+yi})=1}\) mnożę nawiasy przez i:
\(\displaystyle{ Im(\frac{1+xi-y}{1-xi+y})=1}\) No i dalej nie jestem pewny jak to rozwiązać.

Z góry dziękuje za pomoc.
Awatar użytkownika
meninio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1876
Rejestracja: 3 maja 2008, o 11:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jastrzębie Zdrój
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 467 razy

Liczby zespolone - zaznacz na płaszczyźnie

Post autor: meninio »

Ad.1 Dobrze
Ad.2 Też dobrze. Przypomnij sobie ze szkoły jaka krzywa opisana jest takim równaniem
Ad.3 Licznik i mianownik wyrażenia w nawiasie pomnóż przez sprzężenie mianownika, potem uporządkuj liczbę, tak żebyś widział część rzeczywistą i urojoną, potem się zajmij tylko urojoną.
enterbios
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 8 paź 2009, o 20:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: szczecin
Podziękował: 1 raz

Liczby zespolone - zaznacz na płaszczyźnie

Post autor: enterbios »

Ok dziękuje za odpowiedź.
Zad.2. Już to okrąg o promieniu =9 fakt nie pomyślałem.

W zadaniu 3 mam pomnożyć przez sprzężenie od momentu do którego doszedłem? Czy wcześniej?
Awatar użytkownika
meninio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1876
Rejestracja: 3 maja 2008, o 11:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jastrzębie Zdrój
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 467 razy

Liczby zespolone - zaznacz na płaszczyźnie

Post autor: meninio »

Od momentu, do którego doszedłeś.
enterbios
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 8 paź 2009, o 20:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: szczecin
Podziękował: 1 raz

Liczby zespolone - zaznacz na płaszczyźnie

Post autor: enterbios »

Coś robię źle...

\(\displaystyle{ Im(\frac{1+xi-y}{1-xi+y})=1}\)
No i teraz mnożę przez sprzężenie czyli:

\(\displaystyle{ Im(\frac{(1+xi-y)(1+xi-y)}{(1-xi+y)(1+xi-y)})=1}\)
I wychodzi mi po uporządkowaniu:
\(\displaystyle{ Im(\frac{1+2xi-x^{2}+y^{2}-2y-2xyi}{1+x^{2}-y^{2}+xyi})=1}\)

Nie mogę tego rozdzielić na części Re i Im. Gdzie robię błąd?
Awatar użytkownika
meninio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1876
Rejestracja: 3 maja 2008, o 11:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jastrzębie Zdrój
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 467 razy

Liczby zespolone - zaznacz na płaszczyźnie

Post autor: meninio »

Bo źle dobrałeś sprzężenie. Sprzężenie różni się tylko znakiem przy części urojonej!
enterbios
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 8 paź 2009, o 20:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: szczecin
Podziękował: 1 raz

Liczby zespolone - zaznacz na płaszczyźnie

Post autor: enterbios »

W takim razie:
\(\displaystyle{ Im(\frac{(1+xi-y)(1+xi+y)}{(1-xi+y)(1+xi+y)}=1}\)
Po uporządkowaniu wychodzi:
\(\displaystyle{ Im(\frac{1+2xi-y^{2}-x^{2}+2xyi}{1-2y+x^{2}+y^{2}})=1}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ 1+2xi-y^{2}-x^{2}+2xyi=1-2y+x^{2}+y^{2}}\)
zostawiając samą część urojoną:
\(\displaystyle{ 2xi+2xyi=1}\)
Znowu coś źle?:(
Awatar użytkownika
meninio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1876
Rejestracja: 3 maja 2008, o 11:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jastrzębie Zdrój
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 467 razy

Liczby zespolone - zaznacz na płaszczyźnie

Post autor: meninio »

\(\displaystyle{ (y+1-ix)(y+1+ix)=(y+1)^2+x^2}\)

Rozdziel wyrażenie pod imaginalis (zapisz w postaci sumy) na dwie części, rzeczywistą i urojoną. A następnie tylko urojoną przyrównaj do 1.
atam87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 11 lis 2006, o 16:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: OS
Podziękował: 4 razy

Liczby zespolone - zaznacz na płaszczyźnie

Post autor: atam87 »

\(\displaystyle{ \frac{2xi+2xyi}{(y+1)^2+x^2}=1}\)

\(\displaystyle{ 2x+2xy = y^2+2y+1+x^2}\)

pomysly jakies co dalej?!
Awatar użytkownika
meninio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1876
Rejestracja: 3 maja 2008, o 11:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jastrzębie Zdrój
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 467 razy

Liczby zespolone - zaznacz na płaszczyźnie

Post autor: meninio »

W pierwszej linijce nie powinno być jednostki urojonej \(\displaystyle{ i}\).
No a z resztą trzeba się pobawić. Po przerzuceniu wszystkiego na jedną stronę można napisać, że:
\(\displaystyle{ (y-x)^2+2(y-x)+1=0 \\ \\ (y-x+1)^2=0 \\ \\ y-x+1=0}\)
Ann19901
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 10 paź 2009, o 18:52
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 2 razy

Liczby zespolone - zaznacz na płaszczyźnie

Post autor: Ann19901 »

\(\displaystyle{ \frac{1+xi-y}{1-xi+y}=1}\)

\(\displaystyle{ \frac{1+xi-y}{1-xi+y} \cdot \frac{1+xi+y}{1+xi+y}=1}\)

\(\displaystyle{ \frac{1+xi+y+xi-x^{2}+xyi-y-xyi-y^{2}}{(1+y)^{2}+x^{2}}=1}\)

\(\displaystyle{ \frac{1+2xi-x^{2}-y^{2}}{1+2y+y^{2}+x^{2}}=1}\)

\(\displaystyle{ \frac{1-x^{2}-y^{2}+2xi}{1+2y+y^{2}+x^{2}}=1}\)

bierzesz część urojoną

\(\displaystyle{ \frac{2x}{1+2y+y^{2}+x^{2}}=1}\)

\(\displaystyle{ 2x=1+2y+y^{2}+x^{2}}\)

\(\displaystyle{ x^{2}-2x+y^{2}+2y+1=0}\)

\(\displaystyle{ (x-1)^{2}-1+(y+1)^{2}-1+1=0}\)

\(\displaystyle{ (x-1)^{2}+(y+1)^{2}-1=0}\)

rysujesz wykres, zaznaczasz punkt \(\displaystyle{ (1,-1)}\) i rysujesz okrąg o promieniu 1.

-- 11 paź 2009, o 22:39 --

aha i jeszcze punkt \(\displaystyle{ (0,-1)}\) zaznaczasz kółeczkiem, pustym.
Ostatnio zmieniony 11 paź 2009, o 22:55 przez Ann19901, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
meninio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1876
Rejestracja: 3 maja 2008, o 11:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jastrzębie Zdrój
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 467 razy

Liczby zespolone - zaznacz na płaszczyźnie

Post autor: meninio »

No chyba trochę oszukałaś przechodząc z 2 do 3 linii.
Ann19901
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 10 paź 2009, o 18:52
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 2 razy

Liczby zespolone - zaznacz na płaszczyźnie

Post autor: Ann19901 »

dlaczego? wszystko jest ok
Awatar użytkownika
meninio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1876
Rejestracja: 3 maja 2008, o 11:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jastrzębie Zdrój
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 467 razy

Liczby zespolone - zaznacz na płaszczyźnie

Post autor: meninio »

3 wyrazy razy 3 wyrazy daje 9 wyrazów a ty masz 11
Ann19901
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 10 paź 2009, o 18:52
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 2 razy

Liczby zespolone - zaznacz na płaszczyźnie

Post autor: Ann19901 »

racja, przez przypadek dwa razy to samo napisałam. już jest ok.
ODPOWIEDZ