Dla jakich n liczby zespolone są równe?

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Awatar użytkownika
Marmon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 475
Rejestracja: 30 sty 2008, o 16:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wołomin
Podziękował: 31 razy
Pomógł: 75 razy

Dla jakich n liczby zespolone są równe?

Post autor: Marmon »

Dla jakich \(\displaystyle{ n\in N z_1=( \sqrt{3}j -1 )^n = ( \sqrt{3} j +1)^n =z_2}\)

Zauważyłem że:
\(\displaystyle{ |z_1 |=|z_2 | = |z|= 2}\)
oraz że postaci trygonometryczne można zapisać tak:

\(\displaystyle{ z_1 = |z|^n (cos\phi _1 + j\cdot sin \phi _1)^n}\)

\(\displaystyle{ z_2 = |z|^n (cos \phi _2 + j\cdot sin \phi _2)^n}\)

\(\displaystyle{ cos\phi _1 =- \frac{1}{2} \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ sin \phi _1 = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \phi _1 =\frac{2 \Pi}{3}}\)

\(\displaystyle{ cos\phi _2 = \frac{1}{2} \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ sin \phi _2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \phi _2 =\frac{ \Pi}{3}}\)

czyli dla jakich n zachodzi:
\(\displaystyle{ cos( n \frac{2 \Pi}{3}) + j\cdot sin (n \frac{2 \Pi}{3}) = cos (n \frac{ \Pi}{3}) + j \cdot sin(n \frac{ \Pi}{3})}\)

eh w tym momencie jak to pisałem to się zorientowałem jak to zrobić...

Dalej jest różnica sinusów, cosinusów. Potem wyłączenie przed nawias i przyrównanie do zera,
koniec końców wyszło mi \(\displaystyle{ n=6k \wedge k=1,2,3,\ldots}\)
Awatar użytkownika
Nakahed90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9096
Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 1871 razy

Dla jakich n liczby zespolone są równe?

Post autor: Nakahed90 »

Mi wyszło, że tylko dla n=0.
To równanie jest równoważne równaniu
\(\displaystyle{ 2^n e^{\frac{2i\pi n}{3}}=2^n e^{\frac{i\pi n}{3}} \\ ... \\ \frac{2i\pi n}{3} =\frac{i\pi n}{3} \\ ... \\ n=0}\)
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Dla jakich n liczby zespolone są równe?

Post autor: »

Nakahed90 pisze:\(\displaystyle{ 2^n e^{\frac{2i\pi n}{3}}=2^n e^{\frac{i\pi n}{3}} \\ ... \\ \frac{2i\pi n}{3} =\frac{i\pi n}{3}}\)
Raczej:
\(\displaystyle{ \frac{2i\pi n}{3} =\frac{i\pi n}{3} + 2ki\pi}\)
skąd istotnie \(\displaystyle{ n=6k}\)

Q.
Awatar użytkownika
Nakahed90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9096
Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 1871 razy

Dla jakich n liczby zespolone są równe?

Post autor: Nakahed90 »

Qń pisze:
Nakahed90 pisze:\(\displaystyle{ 2^n e^{\frac{2i\pi n}{3}}=2^n e^{\frac{i\pi n}{3}} \\ ... \\ \frac{2i\pi n}{3} =\frac{i\pi n}{3}}\)
Raczej:
\(\displaystyle{ \frac{2i\pi n}{3} =\frac{i\pi n}{3} + 2ki\pi}\)
skąd istotnie \(\displaystyle{ n=6k}\)

Q.
No tak zapomniałem tego dopisać, stąd ta bzdura. Dzięki za poprawienie.
ODPOWIEDZ