Co to znaczy minus część urojona?

[Marmon]

Witka mam takie zadanie i nie bardzo wiem czy dobrze rozumuje

\(\displaystyle{ |z+1|-Imz \le 1 \overbrace{\Leftrightarrow }^{???} |z+1|-y \le 1}\)
gdzie \(\displaystyle{ z=x+jy}\)

[Jan Kraszewski]

Dobrze.

JK

[Marmon]

Treść tego zadania to zaznacz na płaszczyźnie zbiór:

dalej zrobiłem to tak ale chyba nie tędy droga

\(\displaystyle{ |z+1|-y \le 1}\)
\(\displaystyle{ |z+1| \le y+1}\)
\(\displaystyle{ [ \sqrt{(z+1)^2}]^2 \le (y+1)^2}\)
\(\displaystyle{ (z+1)^2 - (1+y)^2 \le 0}\)
\(\displaystyle{ (z-y)(z+2+y)\le 0}\)

Dalej to zacząłem wymnażać ale nic z tego nie wyszło

Może jakaś podpowiedź?

[Jan Kraszewski]

Jak przechodzisz do części rzeczywistej i urojonej, to konsekwentnie wszędzie.

\(\displaystyle{ z+1=(x+1)+yi}\)
oraz
\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{(Re z)^2+(Im z)^2}}\),
czyli
\(\displaystyle{ |z+1|=\sqrt{(x+1)^2+y^2}}\).

Potem przy podnoszeniu do kwadratu pamiętaj o znakach.

JK

[Marmon]

\(\displaystyle{ |z+1|=\sqrt{(x+1)^2+y^2}}\).

JK

To jest mój błąd, jedyna była poza nawiasem

żeby to dobrze zrozumieć taki przykład z głowy:

\(\displaystyle{ z-j +2= (x+2)+j(y-1)}\) tak?

[Jan Kraszewski]

żeby to dobrze zrozumieć taki przykład z głowy:

\(\displaystyle{ z-j +2= (x+2)+j(y-1)}\) tak?

Tak.

JK

[Marmon]

ok świetnie, nawet nie wiesz jak bardzo mi to rozjaśniło w głowie ;D

\(\displaystyle{ |z+1|-Imz \le 1}\)
\(\displaystyle{ |(x+1)+jy| \le 1+y}\)
\(\displaystyle{ [ \sqrt{(x+1)^2 + y^2} ]^2 \le (1+y)^2}\) (***)

\(\displaystyle{ ...}\)

\(\displaystyle{ y \ge \frac{1}{2}x^2 +x}\)

To chyba tak mniej więcej będzie

(***) tutaj mam pewne wątpliwości czy w każdym przykładzie z nierównością i modułem podnoszenie do kwadratu jest dozwolone??

[Jan Kraszewski]

ok świetnie, nawet nie wiesz jak bardzo mi to rozjaśniło w głowie ;D

\(\displaystyle{ |z+1|-Imz \le 1}\)
\(\displaystyle{ |(x+1)+jy| \le 1+y}\)
\(\displaystyle{ [ \sqrt{(x+1)^2 + y^2} ]^2 \le (1+y)^2}\) (***)

\(\displaystyle{ ...}\)

\(\displaystyle{ y \ge \frac{1}{2}x^2 +x}\)

To chyba tak mniej więcej będzie

(***) tutaj mam pewne wątpliwości czy w każdym przykładzie z nierównością i modułem podnoszenie do kwadratu jest dozwolone??

Nie zawsze, przecież obie strony są liczbami rzeczywistymi i tu obowiązują zwykłe reguły dla nierówności pomiędzy liczbami rzeczywistymi.
W szczególności, jeśli \(\displaystyle{ 1+y<0}\), to nierówność nie zachodzi, a jeśli \(\displaystyle{ 1+y\ge 0}\), to można podnosić.
Czyli w tym przypadku musimy wziąć część wspólną obszaru zadanego warunkiem \(\displaystyle{ y \ge \frac{1}{2}x^2 +x}\) z obszarem \(\displaystyle{ 1+y\ge 0}\) (co akurat nic nie zmienia).

JK