Obliczyć następujące wyrażenie:
\(\displaystyle{ \left( 1+\cos \alpha+j \sin \alpha \right) ^{10}}\) dla \(\displaystyle{ \alpha}\) z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle 0,\pi \right)}\).
Znaleźć wartość wyrażenia
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Znaleźć wartość wyrażenia
Z uwagi na wzory:
\(\displaystyle{ \cos \alpha +1 = 2\cos^2\frac{\alpha}{2} \\
\sin \alpha=2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}\)
mamy:
\(\displaystyle{ \left(1+\cos \alpha + i\sin\alpha\right)^{10}= \left(2\cos^2\frac{\alpha}{2}+i2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\right)^{10}=\\ \\=
\left(2\cos\frac{\alpha}{2}\right)^{10}\left(\cos\frac{\alpha}{2}+i\sin\frac{\alpha}{2}\right)^{10} =
2^{10} \cdot \cos^{10}\frac{\alpha}{2}\cdot (\cos 5\alpha + i\sin5\alpha )}\)
(ostatnia równość ze wzoru de Moivre'a)
Q.
\(\displaystyle{ \cos \alpha +1 = 2\cos^2\frac{\alpha}{2} \\
\sin \alpha=2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}\)
mamy:
\(\displaystyle{ \left(1+\cos \alpha + i\sin\alpha\right)^{10}= \left(2\cos^2\frac{\alpha}{2}+i2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\right)^{10}=\\ \\=
\left(2\cos\frac{\alpha}{2}\right)^{10}\left(\cos\frac{\alpha}{2}+i\sin\frac{\alpha}{2}\right)^{10} =
2^{10} \cdot \cos^{10}\frac{\alpha}{2}\cdot (\cos 5\alpha + i\sin5\alpha )}\)
(ostatnia równość ze wzoru de Moivre'a)
Q.