witam, chcialbym sie zwrocic o porady, jak zrobic pare zadan z liczb zespolonych, oto one:
1. Rozlozyc na czynniki liniowe wielomiany:
\(\displaystyle{ a)z^3-z^2+z-1 \\ b)z^4+4 \\ c)z^8-1}\)
2. podac mozliwe najprostszy wielomian, ktorego pierwiastkami sa:
\(\displaystyle{ a) 0,1,2j,-2j \\ b)1-j, 1+j, -1-2j, -1+2j}\)
3. Rozwiazac rownanie:
\(\displaystyle{ a)z^2+(1+j)z+j=0 \\ b)z^3+2z^2+z+2=0}\)
rownania i nie tylko z liczbami zespolonymi
rownania i nie tylko z liczbami zespolonymi
Załamka...
1) Trzeba znaleźć pierwiastki... i zapisać jak poniżej w rozwiązaniu 2.
2) Trzeba zapisać jako iloczyn czynników liniowych i wymnożyć. Przecież skoro masz mieć pierwiastki w 0, 1, 2j, -2j to masz z(z-1)(z-2j)(z+2j)
3) Po prostu rozwiąż równanie w a) kwadratowe a w b) ładnie się faktoryzuje na (z+2)(z^2+1)
1) Trzeba znaleźć pierwiastki... i zapisać jak poniżej w rozwiązaniu 2.
2) Trzeba zapisać jako iloczyn czynników liniowych i wymnożyć. Przecież skoro masz mieć pierwiastki w 0, 1, 2j, -2j to masz z(z-1)(z-2j)(z+2j)
3) Po prostu rozwiąż równanie w a) kwadratowe a w b) ładnie się faktoryzuje na (z+2)(z^2+1)
rownania i nie tylko z liczbami zespolonymi
a jak rozwiazac to rowniane kwadratowe, bo tam mam "z" i "j", nie wiem czy np za "z" mam podstawic z=a+bj czy tez z delty to robic, kolego dzieki za fatyge, ze napisales, ale jak juz pomagasz to moglbys napisac szerzej tak zeby mozna bylo skumac wszystko a po drugie po co slowo zalamka? ciekawi mnie czy jak gdzies byles pierwszy raz albo cos robiles pierwszy raz to czy wszystko umiales, a jak ci cos nie wychodzilo to czy dobrze sie czules jak sie smial i mowili zalamka, zastanow sie troche, nie raz i nie dwa jeszcze ci sie noga powinie i zobaczymy czy wtedy bedziesz taki jaki jestes teraz.
rownania i nie tylko z liczbami zespolonymi
Nie potrafię zrozumieć, dlaczego po prostu nie spróbujesz policzyć np. z delty, tylko się pytasz. Przecież to robota na 5 minut, a tak musisz czekać kilka godzin aż ktoś odpowie na forum.
Owszem liczysz \(\displaystyle{ z}\) z delty, bez użycia podstawień.
\(\displaystyle{ \Delta = (1+j)^2 - 4j = 1 + 2j -1 - 4j = -2j}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = \sqrt{2} \left( \cos \pi \left( k -\frac{1}{4} \right) + j \sin \pi \left( k - \frac{1}{4} \right) \right)}\) (wzór de Moivre'a)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = -1+j \vee \sqrt{\Delta} = 1-j}\)
następnie liczysz oba pierwiastki równania kwadratowego dla każdej znalezionej wartości \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}}\) osobno. Łącznie dostajesz 4, z czego dwie pary są identyczne, więc zostają tylko 2 pierwiastki \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ -j}\).
Owszem liczysz \(\displaystyle{ z}\) z delty, bez użycia podstawień.
\(\displaystyle{ \Delta = (1+j)^2 - 4j = 1 + 2j -1 - 4j = -2j}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = \sqrt{2} \left( \cos \pi \left( k -\frac{1}{4} \right) + j \sin \pi \left( k - \frac{1}{4} \right) \right)}\) (wzór de Moivre'a)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = -1+j \vee \sqrt{\Delta} = 1-j}\)
następnie liczysz oba pierwiastki równania kwadratowego dla każdej znalezionej wartości \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}}\) osobno. Łącznie dostajesz 4, z czego dwie pary są identyczne, więc zostają tylko 2 pierwiastki \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ -j}\).
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
rownania i nie tylko z liczbami zespolonymi
Co do pierwszego zadania to zauważ że jedynka jest pierwiastkiem
Skorzystaj z twierdzenia Bezouta i podziel wielomian przez dwumian
Dostaniesz równanie kwadratowe
Możesz też skorzystać z ogólnej metody rozwiązywania równań trzeciego stopnia
\(\displaystyle{ a_{3}z^3+a_{2}z^{2}+a_{1}z+a_{0}=0}\)
Aby sprowadzić ogólne równanie trzeciego stopnia do równania kwadratowego
trzeba użyć dwóch podstawień
I
\(\displaystyle{ y=z+ \frac{a_{2}}{3a_{3}}}\)
To podstawienie sprowadzi równanie do postaci
\(\displaystyle{ y^{3}+py+q=0}\)
Następnie stosujemy drugie podstawienie
\(\displaystyle{ y=u+v}\)
To podstawienie da nam układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=-q \\ uv=- \frac{p}{3} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=-q \\ uv=- \frac{p^3}{27} \end{cases}}\)
Powyższy układ równań to wzory Viete'a pewnego równania kwadratowego
Równanie to jest postaci
\(\displaystyle{ t^2+qt- \frac{p^3}{27}=0}\)
\(\displaystyle{ x_{1}= \sqrt[3]{t_{1}} + \sqrt[3]{t_{2}}- \frac{a_{2}}{3a_{3}}}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=e^{ \frac{2i\pi}{3} } \sqrt[3]{t_{1}} +e^{ \frac{4i\pi}{3} } \sqrt[3]{t_{2}}- \frac{a_{2}}{3a_{3}}}\)
\(\displaystyle{ x_{3}=e^{ \frac{4i\pi}{3} } \sqrt[3]{t_{1}} +e^{ \frac{2i\pi}{3} } \sqrt[3]{t_{2}}- \frac{a_{2}}{3a_{3}}}\)
Skorzystaj z twierdzenia Bezouta i podziel wielomian przez dwumian
Dostaniesz równanie kwadratowe
Możesz też skorzystać z ogólnej metody rozwiązywania równań trzeciego stopnia
\(\displaystyle{ a_{3}z^3+a_{2}z^{2}+a_{1}z+a_{0}=0}\)
Aby sprowadzić ogólne równanie trzeciego stopnia do równania kwadratowego
trzeba użyć dwóch podstawień
I
\(\displaystyle{ y=z+ \frac{a_{2}}{3a_{3}}}\)
To podstawienie sprowadzi równanie do postaci
\(\displaystyle{ y^{3}+py+q=0}\)
Następnie stosujemy drugie podstawienie
\(\displaystyle{ y=u+v}\)
To podstawienie da nam układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=-q \\ uv=- \frac{p}{3} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=-q \\ uv=- \frac{p^3}{27} \end{cases}}\)
Powyższy układ równań to wzory Viete'a pewnego równania kwadratowego
Równanie to jest postaci
\(\displaystyle{ t^2+qt- \frac{p^3}{27}=0}\)
\(\displaystyle{ x_{1}= \sqrt[3]{t_{1}} + \sqrt[3]{t_{2}}- \frac{a_{2}}{3a_{3}}}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=e^{ \frac{2i\pi}{3} } \sqrt[3]{t_{1}} +e^{ \frac{4i\pi}{3} } \sqrt[3]{t_{2}}- \frac{a_{2}}{3a_{3}}}\)
\(\displaystyle{ x_{3}=e^{ \frac{4i\pi}{3} } \sqrt[3]{t_{1}} +e^{ \frac{2i\pi}{3} } \sqrt[3]{t_{2}}- \frac{a_{2}}{3a_{3}}}\)
rownania i nie tylko z liczbami zespolonymi
dzieki wam z odp, byly naprawde pomocne.
Ndcs - wlasnie nie mialem na wykladzie wzoru moivrea wprowadzonego, dlatego moze nie pomyslalem, ze mozna go uzyc, niestety mialem dopiero podstawy liczb zespolonych.
mialbym jeszcze jedno zadanie, jesli by ktos umial to takze prosze o pomoc. oto ono:
zad.
wyznaczyc zbior wszystkich liczb zespolonych z, dla ktorych z/jz+1 jest dodatnia liczba rzeczywista.
Ndcs - wlasnie nie mialem na wykladzie wzoru moivrea wprowadzonego, dlatego moze nie pomyslalem, ze mozna go uzyc, niestety mialem dopiero podstawy liczb zespolonych.
mialbym jeszcze jedno zadanie, jesli by ktos umial to takze prosze o pomoc. oto ono:
zad.
wyznaczyc zbior wszystkich liczb zespolonych z, dla ktorych z/jz+1 jest dodatnia liczba rzeczywista.
