równanie algebraiczne

[andrzej1973]

Jak rozwiazać równanie algebraiczne
a) \(\displaystyle{ z^{2}+ (1-2i) \cdot z+1+5i=0}\);
b)\(\displaystyle{ z^{2} +(1+4i) \cdot z-(5+i)=0}\);
c) \(\displaystyle{ z^{4} +3 \cdot z^{2} - 4 =0}\)

[Hania_87]

to masz równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ a^2+b+c=0}\)

a)
\(\displaystyle{ a=1\\
b=1-2i\\
c=1+5i}\)

b)
\(\displaystyle{ a=1\\
b=1+4i\\
c=-5-i}\)

c)
\(\displaystyle{ t=z^2\\
t^{2} +3 \cdot t - 4 =0\\
a=1\\
b=3\\
c=-4\\}\)


Równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych gdy \(\displaystyle{ \Delta < 0}\), bo wzory ogólne
wymagają wtedy obliczenia pierwiastka z liczby ujemnej. Wśród liczb rzeczywistych
taki pierwiastek nie istnieje. Gdy jednak wprowadzimy dodatkowa ”liczbę”\(\displaystyle{ i = \sqrt{−1}}\),
to można rachować na liczbach postaci \(\displaystyle{ a + bi, a, b \in R}\), dodając do zwykłych reguł
arytmetyki równość\(\displaystyle{ i^2 = −1}\)

Np.: \(\displaystyle{ \sqrt{ - 4} = \sqrt{4i^2} = 2i.}\)


w c) chyba masz błąd w przepisywaniu
bo to równanie kwadratowe jest dla\(\displaystyle{ \Delta >0}\), czyli dla liczb rzeczywistych, a nie jak w temacie dla zespolonych...

[andrzej1973]

to masz równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ a^2+b+c=0}\)

a)
\(\displaystyle{ a=1\\
b=1-2i\\
c=1+5i}\)

b)
\(\displaystyle{ a=1\\
b=1+4i\\
c=-5-i}\)

c)
\(\displaystyle{ t=z^2\\
t^{2} +3 \cdot t - 4 =0\\
a=1\\
b=3\\
c=-4\\}\)


Równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych gdy \(\displaystyle{ \Delta < 0}\), bo wzory ogólne
wymagają wtedy obliczenia pierwiastka z liczby ujemnej. Wśród liczb rzeczywistych
taki pierwiastek nie istnieje. Gdy jednak wprowadzimy dodatkowa ”liczbę”\(\displaystyle{ i = \sqrt{−1}}\),
to można rachować na liczbach postaci \(\displaystyle{ a + bi, a, b \in R}\), dodając do zwykłych reguł
arytmetyki równość\(\displaystyle{ i^2 = −1}\)

Np.: \(\displaystyle{ \sqrt{ - 4} = \sqrt{4i^2} = 2i.}\)


w c) chyba masz błąd w przepisywaniu
bo to równanie kwadratowe jest dla\(\displaystyle{ \Delta >0}\), czyli dla liczb rzeczywistych, a nie jak w temacie dla zespolonych...

czyli rozwiązać jak równanie kwadratowe.
w c) nie ma błędu taka ma postać:
\(\displaystyle{ z^{4}+3 z^{2} - 4 = 0}\)

dzięki z podpowiedź

[Hania_87]

może miało być:
\(\displaystyle{ z^{4}+3 z^{2} + 4 = 0}\)
by było w zespolonych-- 6 października 2009, 16:44 --może miało być:
\(\displaystyle{ z^{4}+3 z^{2} + 4 = 0}\)
by było w zespolonych

[andrzej1973]

może miało być:
\(\displaystyle{ z^{4}+3 z^{2} + 4 = 0}\)
by było w zespolonych

-- 6 października 2009, 16:44 --

może miało być:
\(\displaystyle{ z^{4}+3 z^{2} + 4 = 0}\)
by było w zespolonych

może i masz rację, powiem uczciwie nie mam pojęcia tak spisałem z listy zadań mam rozwiązać. Dla ułatwienia wykładowca podał prawidłową odp.

[Maciej87]

A co ma \(\displaystyle{ \Delta > 0}\) do rzeczy?

Równanie c) jest czwartego stopnia, i ma również pierwiastki nierzeczywiste.
Alternatywna treść prowadzi do nieprzejrzystych wyników, więc jest raczej dobrze przepisane.

[andrzej1973]

A co ma \(\displaystyle{ \Delta > 0}\) do rzeczy?

Równanie c) jest czwartego stopnia, i ma również pierwiastki nierzeczywiste.
Alternatywna treść prowadzi do nieprzejrzystych wyników, więc jest raczej dobrze przepisane.

czyli jak rozwiązać takie równanie?

[Maciej87]

Podstawieniem. Względem \(\displaystyle{ u=z^2}\) to jest równanie kwadratowe. Obliczyy \(\displaystyle{ u}\) a pote \(\displaystyle{ z}\)

[Hania_87]

c)
\(\displaystyle{ t=z^2\\
t^{2} +3 \cdot t - 4 =0\\
a=1\\
b=3\\
c=-4\\}\)

napisałam to samo tutaj...

[Maciej87]

Tak, tylko nie rozumiałem co ma wspólnego znak delty z treścią zadania