udowodnić nierówności

[adacho90]

1)\(\displaystyle{ |z_1 + z_2| \le |z_1| +|z_2|}\)

2)\(\displaystyle{ | |z_1|-|z_2| | \le |z_1-z_2|}\)

[jgarnek]

1)niech \(\displaystyle{ z_1=a+bi, z_2=e+di}\) (wtedy \(\displaystyle{ |z_1|=\sqrt{a^2+b^2}}\)). Potem podnosisz wszystko do kwadratu, redukujesz wyrazy podobne, ponosisz jeszcze raz do kwadratu, korzystasz z nierówności o średnich ar-geo (lub przenosisz wszystko na jedną stronę i zwijasz do kwadratu) i wszystko ładnie wychodzi.

w drugim przykładzie też zapisz sobie tak te liczby i sama/sam pokombinuj

[adacho90]

wiem, że można tak to robić. nie ma krótszego sposobu? bez podstawiania x +yi za liczby zespolone...

[jgarnek]

krótszego? ten zajmuje 4 linijki jest to tzw. nierówność trójkąta (w wersji graficznej dość oczywista)

[Wasilewski]

Krótszy sposób:
\(\displaystyle{ 1 = \frac{z_{1}}{z_{1} +z_{2}} + \frac{z_{2}}{z_{1} + z_{2}} = \Re \left(\frac{z_{1}}{z_{1} +z_{2}} + \frac{z_{2}}{z_{1} + z_{2}}\right) = \Re \left(\frac{z_{1}}{z_{1} + z_{2}}\right) + \Re \left(\frac{z_{2}}{z_{1} + z_{2}}\right) \le |\frac{z_{1}}{z_{1} + z_{2}}| + |\frac{z_{2}}{z_{1} + z_{2}}|,}\)
na mocy oczywistej nierówności \(\displaystyle{ \Re(z) \le |z|}\).
Druga nierówność dość prosto wynika z pierwszej.

[adacho90]

Mam jeszcze wątpliwości czy liczby : \(\displaystyle{ \frac{z_{1}}{z_{1} +z_{2}}, \frac{z_{2}}{z_{1} + z_{2}}}\) mogą odpowiadać dwóm dowolnym, niezależnym jedna od drugiej liczbom zespolonym... no bo że \(\displaystyle{ \frac{z_1}{z_1+z_2}}\) jest dowolną liczbą zespoloną to jest oczywiste i zresztą wynika z lematu o wykonywalności odejmowania, ale dwóch na raz to ja już nie ogarniam...

[Wasilewski]

Te liczby nie są niezależne od siebie; wszak ich suma jest równa 1. Ważne, że \(\displaystyle{ z_{1} \ i \ z_{2}}\) są dowolne (poza przypadkiem \(\displaystyle{ z_{1} = -z_{2}}\), ale łatwo sprawdzić, że wtedy nierówność jest prawdziwa.