Czynniki wielomianu

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Awatar użytkownika
mathX
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 648
Rejestracja: 1 lis 2008, o 15:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 116 razy

Czynniki wielomianu

Post autor: mathX »

Rozłóż dany wielomian:

\(\displaystyle{ x^{6}+x^{3}+1=0}\)

na sześć czynników liniowych zespolonych

z góry dzięki
Awatar użytkownika
kp1311
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 475
Rejestracja: 20 maja 2009, o 15:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarzecze
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 49 razy

Czynniki wielomianu

Post autor: kp1311 »

Zacznij od podstawienia:
\(\displaystyle{ x^{3} = t}\)
potem dostaniesz:

\(\displaystyle{ x^{3} = \frac{-1 - i\sqrt{3} }{2} \vee x^{3} = \frac{-1 +i \sqrt{3} }{2}}\)

Potem przeżuć sobie wartości liczbowe na lewą i do dalszego rozkładu użyj wzorów skróconego mn. na \(\displaystyle{ a^3 \pm b^{3}}\).
Awatar użytkownika
mathX
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 648
Rejestracja: 1 lis 2008, o 15:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 116 razy

Czynniki wielomianu

Post autor: mathX »

Do tego też mniej więcej doszedłem, tylko teraz skoro mam 2 możliwości to mam rozważać dwa przypadki?
I jak mam na lewą przerzucić, skoro prawej strony w ogóle nie ruszam?

Chodzi o to, że wielomian \(\displaystyle{ t^{2}+t+1=0}\) umiem rozłożyć na czynniki. Tylko teraz jak każdy z nich, podstawiając \(\displaystyle{ t=x^{3}}\), dalej rozłożyć, bo coś mi się miesza...
Rogal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Czynniki wielomianu

Post autor: Rogal »

Tylko wzory de Moivre'a.
Awatar użytkownika
kp1311
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 475
Rejestracja: 20 maja 2009, o 15:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarzecze
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 49 razy

Czynniki wielomianu

Post autor: kp1311 »

Z tych dwóch ,,możliwości" dostaniesz po trzy pierwiastki razem 6
chodziło mi o takie coś:

niech:
1)\(\displaystyle{ a^{3} = \frac{-1 - i \sqrt{3} }{2}}\)
2)\(\displaystyle{ b^{3} = \frac{-1 + i \sqrt{3} }{2}}\)
Wielomian możesz sobie przedstawić w postaci:
\(\displaystyle{ W(x) = (x^{3} - a^{3})(x^{3} - b^{3})}\)
\(\displaystyle{ W(x) = (x- a)(x^{2} - ax + a^{2})(x-b)(x^{2} - bx + b^{2})}\)
Przyrównujesz do zera, rozwiązujesz równanie, dostajesz 6 pierwiastków, potem z zależności 1,2 używając wzorów de moivra wyznaczasz \(\displaystyle{ a , b}\), podstawiasz do rozwiązań i po zadaniu.
Awatar użytkownika
mathX
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 648
Rejestracja: 1 lis 2008, o 15:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 116 razy

Czynniki wielomianu

Post autor: mathX »

Fakt, chciałem zbyt komplikować sobie życie, gdy to jest takie trywialne. No cóż, tak czasem bywa. Wielkie dzięki Już zrozumiałem

-- 30 września 2009, 21:55 --

PS. Czyli wychodzi tak:?

\(\displaystyle{ |x _{1}^{3}|=|x _{2}^{3}|=1}\) - liczby są sprzężone

\(\displaystyle{ x _{1}^{3}= \frac{-1- \sqrt{3}i }{2} \\ sin\phi = \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ cos\phi = - \frac{1}{2} \\ \phi= \frac{2}{3}\pi}\)

\(\displaystyle{ x _{2}^{3}=\frac{-1+ \sqrt{3}i }{2} \\ sin\phi = -\frac{ \sqrt{3} }{2} \\ cos\phi = -\frac{1}{2} \\ \phi= \frac{4}{3}\pi}\)

to:
\(\displaystyle{ x^{6}+x^{3}+1=\underbrace{(x-e^{ \frac{2}{3}\pi i })(x-e^{ \frac{8}{3}\pi i })(x-e^{ \frac{14}{3}\pi i })}_{pierwiastki \ x _{1}^{3}} \underbrace{(x-e^{ \frac{4}{3}\pi i })(x-e^{ \frac{10}{3}\pi i })(x-e^{ \frac{16}{3}\pi i })}_{pierwiastki \ x _{2}^{3}}}\)
Awatar użytkownika
kp1311
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 475
Rejestracja: 20 maja 2009, o 15:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarzecze
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 49 razy

Czynniki wielomianu

Post autor: kp1311 »

Wydaje mi się że masz złe znaki przy sinusach kąta phi.
Rogal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Czynniki wielomianu

Post autor: Rogal »

To jest pikuś - bardzo intrygująco natomiast skorzystałeś z wzoru de Moivre'a - czyżbyś zapomniał podzielić przez 3?
Awatar użytkownika
mathX
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 648
Rejestracja: 1 lis 2008, o 15:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 116 razy

Czynniki wielomianu

Post autor: mathX »

Owszem, tam powinno być w mianowniku 9. Zapomniałem podzielić przez 3

Co do znaków to mój błąd... po prostu tam, gdzie mam sinus i cosinus przy \(\displaystyle{ x_{1}}\) powinno być przy \(\displaystyle{ x_{2}}\) i na odwrót.

Uwzględniając Wasze uwagi ostatecznie wyszło mi:
\(\displaystyle{ x^{6}+x^{3}+1=\underbrace{(x-e^{ \frac{2}{9}\pi i })(x-e^{ \frac{8}{9}\pi i })(x-e^{ \frac{14}{9}\pi i })}_{pierwiastki \ x _{2}^{3}} \underbrace{(x-e^{ \frac{4}{9}\pi i })(x-e^{ \frac{10}{9}\pi i })(x-e^{ \frac{16}{9}\pi i })}_{pierwiastki \ x _{1}^{3}}}\)

Wczoraj było późno, więc i myslenie gorzej szło...
ODPOWIEDZ