Czynniki wielomianu
- kp1311
- Użytkownik
- Posty: 475
- Rejestracja: 20 maja 2009, o 15:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarzecze
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 49 razy
Czynniki wielomianu
Zacznij od podstawienia:
\(\displaystyle{ x^{3} = t}\)
potem dostaniesz:
\(\displaystyle{ x^{3} = \frac{-1 - i\sqrt{3} }{2} \vee x^{3} = \frac{-1 +i \sqrt{3} }{2}}\)
Potem przeżuć sobie wartości liczbowe na lewą i do dalszego rozkładu użyj wzorów skróconego mn. na \(\displaystyle{ a^3 \pm b^{3}}\).
\(\displaystyle{ x^{3} = t}\)
potem dostaniesz:
\(\displaystyle{ x^{3} = \frac{-1 - i\sqrt{3} }{2} \vee x^{3} = \frac{-1 +i \sqrt{3} }{2}}\)
Potem przeżuć sobie wartości liczbowe na lewą i do dalszego rozkładu użyj wzorów skróconego mn. na \(\displaystyle{ a^3 \pm b^{3}}\).
- mathX
- Użytkownik
- Posty: 648
- Rejestracja: 1 lis 2008, o 15:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 116 razy
Czynniki wielomianu
Do tego też mniej więcej doszedłem, tylko teraz skoro mam 2 możliwości to mam rozważać dwa przypadki?
I jak mam na lewą przerzucić, skoro prawej strony w ogóle nie ruszam?
Chodzi o to, że wielomian \(\displaystyle{ t^{2}+t+1=0}\) umiem rozłożyć na czynniki. Tylko teraz jak każdy z nich, podstawiając \(\displaystyle{ t=x^{3}}\), dalej rozłożyć, bo coś mi się miesza...
I jak mam na lewą przerzucić, skoro prawej strony w ogóle nie ruszam?
Chodzi o to, że wielomian \(\displaystyle{ t^{2}+t+1=0}\) umiem rozłożyć na czynniki. Tylko teraz jak każdy z nich, podstawiając \(\displaystyle{ t=x^{3}}\), dalej rozłożyć, bo coś mi się miesza...
- kp1311
- Użytkownik
- Posty: 475
- Rejestracja: 20 maja 2009, o 15:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarzecze
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 49 razy
Czynniki wielomianu
Z tych dwóch ,,możliwości" dostaniesz po trzy pierwiastki razem 6
chodziło mi o takie coś:
niech:
1)\(\displaystyle{ a^{3} = \frac{-1 - i \sqrt{3} }{2}}\)
2)\(\displaystyle{ b^{3} = \frac{-1 + i \sqrt{3} }{2}}\)
Wielomian możesz sobie przedstawić w postaci:
\(\displaystyle{ W(x) = (x^{3} - a^{3})(x^{3} - b^{3})}\)
\(\displaystyle{ W(x) = (x- a)(x^{2} - ax + a^{2})(x-b)(x^{2} - bx + b^{2})}\)
Przyrównujesz do zera, rozwiązujesz równanie, dostajesz 6 pierwiastków, potem z zależności 1,2 używając wzorów de moivra wyznaczasz \(\displaystyle{ a , b}\), podstawiasz do rozwiązań i po zadaniu.
chodziło mi o takie coś:
niech:
1)\(\displaystyle{ a^{3} = \frac{-1 - i \sqrt{3} }{2}}\)
2)\(\displaystyle{ b^{3} = \frac{-1 + i \sqrt{3} }{2}}\)
Wielomian możesz sobie przedstawić w postaci:
\(\displaystyle{ W(x) = (x^{3} - a^{3})(x^{3} - b^{3})}\)
\(\displaystyle{ W(x) = (x- a)(x^{2} - ax + a^{2})(x-b)(x^{2} - bx + b^{2})}\)
Przyrównujesz do zera, rozwiązujesz równanie, dostajesz 6 pierwiastków, potem z zależności 1,2 używając wzorów de moivra wyznaczasz \(\displaystyle{ a , b}\), podstawiasz do rozwiązań i po zadaniu.
- mathX
- Użytkownik
- Posty: 648
- Rejestracja: 1 lis 2008, o 15:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 116 razy
Czynniki wielomianu
Fakt, chciałem zbyt komplikować sobie życie, gdy to jest takie trywialne. No cóż, tak czasem bywa. Wielkie dzięki Już zrozumiałem
-- 30 września 2009, 21:55 --
PS. Czyli wychodzi tak:?
\(\displaystyle{ |x _{1}^{3}|=|x _{2}^{3}|=1}\) - liczby są sprzężone
\(\displaystyle{ x _{1}^{3}= \frac{-1- \sqrt{3}i }{2} \\ sin\phi = \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ cos\phi = - \frac{1}{2} \\ \phi= \frac{2}{3}\pi}\)
\(\displaystyle{ x _{2}^{3}=\frac{-1+ \sqrt{3}i }{2} \\ sin\phi = -\frac{ \sqrt{3} }{2} \\ cos\phi = -\frac{1}{2} \\ \phi= \frac{4}{3}\pi}\)
to:
\(\displaystyle{ x^{6}+x^{3}+1=\underbrace{(x-e^{ \frac{2}{3}\pi i })(x-e^{ \frac{8}{3}\pi i })(x-e^{ \frac{14}{3}\pi i })}_{pierwiastki \ x _{1}^{3}} \underbrace{(x-e^{ \frac{4}{3}\pi i })(x-e^{ \frac{10}{3}\pi i })(x-e^{ \frac{16}{3}\pi i })}_{pierwiastki \ x _{2}^{3}}}\)
-- 30 września 2009, 21:55 --
PS. Czyli wychodzi tak:?
\(\displaystyle{ |x _{1}^{3}|=|x _{2}^{3}|=1}\) - liczby są sprzężone
\(\displaystyle{ x _{1}^{3}= \frac{-1- \sqrt{3}i }{2} \\ sin\phi = \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ cos\phi = - \frac{1}{2} \\ \phi= \frac{2}{3}\pi}\)
\(\displaystyle{ x _{2}^{3}=\frac{-1+ \sqrt{3}i }{2} \\ sin\phi = -\frac{ \sqrt{3} }{2} \\ cos\phi = -\frac{1}{2} \\ \phi= \frac{4}{3}\pi}\)
to:
\(\displaystyle{ x^{6}+x^{3}+1=\underbrace{(x-e^{ \frac{2}{3}\pi i })(x-e^{ \frac{8}{3}\pi i })(x-e^{ \frac{14}{3}\pi i })}_{pierwiastki \ x _{1}^{3}} \underbrace{(x-e^{ \frac{4}{3}\pi i })(x-e^{ \frac{10}{3}\pi i })(x-e^{ \frac{16}{3}\pi i })}_{pierwiastki \ x _{2}^{3}}}\)
- mathX
- Użytkownik
- Posty: 648
- Rejestracja: 1 lis 2008, o 15:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 116 razy
Czynniki wielomianu
Owszem, tam powinno być w mianowniku 9. Zapomniałem podzielić przez 3
Co do znaków to mój błąd... po prostu tam, gdzie mam sinus i cosinus przy \(\displaystyle{ x_{1}}\) powinno być przy \(\displaystyle{ x_{2}}\) i na odwrót.
Uwzględniając Wasze uwagi ostatecznie wyszło mi:
\(\displaystyle{ x^{6}+x^{3}+1=\underbrace{(x-e^{ \frac{2}{9}\pi i })(x-e^{ \frac{8}{9}\pi i })(x-e^{ \frac{14}{9}\pi i })}_{pierwiastki \ x _{2}^{3}} \underbrace{(x-e^{ \frac{4}{9}\pi i })(x-e^{ \frac{10}{9}\pi i })(x-e^{ \frac{16}{9}\pi i })}_{pierwiastki \ x _{1}^{3}}}\)
Wczoraj było późno, więc i myslenie gorzej szło...
Co do znaków to mój błąd... po prostu tam, gdzie mam sinus i cosinus przy \(\displaystyle{ x_{1}}\) powinno być przy \(\displaystyle{ x_{2}}\) i na odwrót.
Uwzględniając Wasze uwagi ostatecznie wyszło mi:
\(\displaystyle{ x^{6}+x^{3}+1=\underbrace{(x-e^{ \frac{2}{9}\pi i })(x-e^{ \frac{8}{9}\pi i })(x-e^{ \frac{14}{9}\pi i })}_{pierwiastki \ x _{2}^{3}} \underbrace{(x-e^{ \frac{4}{9}\pi i })(x-e^{ \frac{10}{9}\pi i })(x-e^{ \frac{16}{9}\pi i })}_{pierwiastki \ x _{1}^{3}}}\)
Wczoraj było późno, więc i myslenie gorzej szło...