Dokladnie chodzi o fragment uzytkownika Rogal (dzieki wielkie za ten temat):
\(\displaystyle{ (1)w := sgn(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}+x}{2}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}-x}{2}}}\)Mamy więc wyznaczone możliwości wartości a i b, jednak natrafiamy na kłopot - z tego, co wyliczyliśmy, możemy otrzymać cztery różne pierwiastki: część rzeczywista i urojona dodatnia, ujemna, rzeczywista dodatnia, urojona ujemna i odwrotnie. Mamy jednak dobre remedium na takowy kłopot. Patrząc na sam początek, na pierwotny układ równań, widzimy , że 2ab = y. Więc jeśli y jest dodatni, to a i b muszą być jednakowych znaków, jeśli zaś y jest ujemny, to bierzemy a i b z przeciwnymi znakami.
Aby zapisać to bardziej elegancko przyjmijmy:
wiec zgodnie z trescia powyzej zapisalem to najpierw "mniej elegancko":(y=0 narazie pomijam)
\(\displaystyle{ y>0 \Rightarrow w_{2} := \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}+x}{2}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}-x}{2}}\\
y>0 \Rightarrow w_{3} := - w_{2}\\
y<0 \Rightarrow w_{4} := - \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}+x}{2}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}-x}{2}}\\
y<0 \Rightarrow w_{5} := -w_{4}}\)
a jesli wstawie w rownanie (1) wstawie: y>0, y<0 (w funkcji sgn y) to otrzymam tylko(rownania (2) i (4):
\(\displaystyle{ y>0 \Rightarrow w_{2}:= \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}+x}{2}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}-x}{2}}\\
y<0 \Rightarrow w_{4}:= - \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}+x}{2}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}-x}{2}}}\)
rozumiem, ze 2 pominiete wyniki (w3;w5) roznia sie tylko minusem, lecz chyba "matematycznie" nie jest to co zostalo napisane w tresci rowne w1. Moglbym prosic o jakies wyjasnienie, czemu "omija" sie te 2 rownania(rozwiazania?) ? oraz to samo sie tyczy przypadku y=0, wtedy czynnik rzeczywisty sie zeruje, a czesc urojona zostaje, choc na poczatku tematu napisano:
Moze to banal, ale nie bardzo to rozumiem, prosilbym o wytlumaczenie. Dzieki! ( w szczegolnosci autorowi za napisanie tematu)Gdy y jest równy 0 mamy do czynienia z pierwiastkiem z liczby rzeczywistej.
Jeśli więc x jest nieujemny, to \(\displaystyle{ \sqrt{z} = \{ \sqrt{x}, -\sqrt{x} \}}\).