Pierwiastki kwadratowe z liczb z. [pytanie]

[At123]

Kompendium algebry> temat: Pierwiastki kwadratowe z liczb zespolonych- https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=23611
Dokladnie chodzi o fragment uzytkownika Rogal (dzieki wielkie za ten temat):

Mamy więc wyznaczone możliwości wartości a i b, jednak natrafiamy na kłopot - z tego, co wyliczyliśmy, możemy otrzymać cztery różne pierwiastki: część rzeczywista i urojona dodatnia, ujemna, rzeczywista dodatnia, urojona ujemna i odwrotnie. Mamy jednak dobre remedium na takowy kłopot. Patrząc na sam początek, na pierwotny układ równań, widzimy , że 2ab = y. Więc jeśli y jest dodatni, to a i b muszą być jednakowych znaków, jeśli zaś y jest ujemny, to bierzemy a i b z przeciwnymi znakami.
Aby zapisać to bardziej elegancko przyjmijmy:

\(\displaystyle{ (1)w := sgn(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}+x}{2}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}-x}{2}}}\)

wiec zgodnie z trescia powyzej zapisalem to najpierw "mniej elegancko":(y=0 narazie pomijam)
\(\displaystyle{ y>0 \Rightarrow w_{2} := \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}+x}{2}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}-x}{2}}\\
y>0 \Rightarrow w_{3} := - w_{2}\\
y<0 \Rightarrow w_{4} := - \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}+x}{2}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}-x}{2}}\\
y<0 \Rightarrow w_{5} := -w_{4}}\)
a jesli wstawie w rownanie (1) wstawie: y>0, y<0 (w funkcji sgn y) to otrzymam tylko(rownania (2) i (4):
\(\displaystyle{ y>0 \Rightarrow w_{2}:= \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}+x}{2}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}-x}{2}}\\
y<0 \Rightarrow w_{4}:= - \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}+x}{2}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}-x}{2}}}\)

rozumiem, ze 2 pominiete wyniki (w3;w5) roznia sie tylko minusem, lecz chyba "matematycznie" nie jest to co zostalo napisane w tresci rowne w1. Moglbym prosic o jakies wyjasnienie, czemu "omija" sie te 2 rownania(rozwiazania?) ? oraz to samo sie tyczy przypadku y=0, wtedy czynnik rzeczywisty sie zeruje, a czesc urojona zostaje, choc na poczatku tematu napisano:

Gdy y jest równy 0 mamy do czynienia z pierwiastkiem z liczby rzeczywistej.
Jeśli więc x jest nieujemny, to \(\displaystyle{ \sqrt{z} = \{ \sqrt{x}, -\sqrt{x} \}}\).

Moze to banal, ale nie bardzo to rozumiem, prosilbym o wytlumaczenie. Dzieki! ( w szczegolnosci autorowi za napisanie tematu)

[miodzio1988]

wtedy czynnik rzeczywisty sie zeruje, a czesc urojona zostaje

Mylisz się
Liczba jest postaci:
\(\displaystyle{ z=x+yi}\)
Czynnikiem rzeczywistym jest x. Czynnikiem urojonym y. Zatem jesli y=0 to...i to co napisal Rogal.
A co do tego pierwszego pytania to napisz do Rogala jesli masz jakieś watpliwosci. On chętnie wyslucha Twoich uwag i wytlumaczy co i jak. Da mu to mozliwosc poprawienia tego tematu jesli wystapily jakies niejasnosci. Jesli Rogal Ci nie pomoze to zawsze mozesz mnie poprosic., ale wydaje mi się, że w temacie Rogala wszystko jest dobrze opisane. Po prostu przeczytaj to kilka razy

[At123]

wtedy czynnik rzeczywisty sie zeruje, a czesc urojona zostaje

Mylisz się
Liczba jest postaci:\(\displaystyle{ z=x+yi}\)

chyba zle to napisalem, bo niejasno sie wyrazilem, chodzilo mi o :
\(\displaystyle{ (1)w := sgn(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}+x}{2}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}-x}{2}}}\)
gdzie wyrazenie z sgn(y) jest czescia rzeczywista a drugie urojona(bo z "i").

W "eleganckim" zapisie pominieto w3;w5 (co wedlug mnie bylo bledem), lecz pozniej okaze sie ze tylko te dwa wystarczaja bo jak napisal pozniej:

Wtedy też ostatecznie otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \sqrt{x+yi} = \{ w, -w \}}\)

a wiec pojawiaja sie juz brakujace rozwiazania: -w2=w3 oraz -w4=w5, a wiec widac ze wyjdzie tak czy sie nasze wszystkie 3 rozwiazania +to z zerem.

ps. trzeba bylo sie troszke tylko zastanowic, zeby to pojac, Rogal specjalnie pominal te 2 rozwiazania, dla przejrzystosci tematu.