działania na liczbach zespolonych

groupies · Post autor: **groupies** » 24 wrz 2009, o 18:52

Mam problem z takimi równaniami
\(\displaystyle{ (-2-2i) ^{37}}\) - tu nie rozumiem tego że w odpowiedzi jest \(\displaystyle{ 2 ^{55}}\) czemu taka potęga i co z resztą? będzię \(\displaystyle{ (cos0+isin0)?}\)
drugie równanie:
\(\displaystyle{ ( \frac{5+i}{2+3i}) ^{28}}\)
tu myślałam, że wystarczy policzyć tak:
\(\displaystyle{ \frac{(5+i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)} = (1-i) ^{28}}\)
ale też najwyraźniej nie
i jeszcze jedno:
\(\displaystyle{ \frac{(1+i) ^{5} +1 }{(1+i) ^{5}-1}}\)
proszę o pomoc i z góry dziękuję

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 24 wrz 2009, o 18:54

To nie są rownania

Wzor de Moivre'a. Znasz ten wzor?

groupies · Post autor: **groupies** » 24 wrz 2009, o 18:58

tak, znam
mam policzyć \(\displaystyle{ |z| ^{2}}\) że a to licznik a b to mianownik ?
i później cos i sin

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 24 wrz 2009, o 19:01

Nie. Masz we wzorze policzyc \(\displaystyle{ \left| z \right| = \sqrt{ a^{2}+ b^{2} }}\)
a i b znasz. Pozniej przedstawiasz liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej . I juz. Podstawiasz wszystko do wzoru i gotowe. I warto wiedziec co się robi, wiesz?

groupies · Post autor: **groupies** » 24 wrz 2009, o 19:05

Tak wiem jak to podstawiać do wzorów, ale chodzi o to że w pierwszym działaniu nie rozumiem jak z \(\displaystyle{ 2 ^{37}}\) robi się \(\displaystyle{ 2 ^{55}}\) skoro mam we wzorze \(\displaystyle{ |z| ^{n}(cos\varphi+isin\varphi)}\) a n=37

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 24 wrz 2009, o 19:09

Albo zle przeczytalas odpowiedz albo zle przepisalas przyklad albo nawias nam spowoduje taką odpowiedz. I pamietaj, że jestesmy w 4 cwiartce. Zatem jak bedzie wygladac postac trygonometryczna naszej liczby zespolonej?

groupies · Post autor: **groupies** » 24 wrz 2009, o 19:33

\(\displaystyle{ |z|=2 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ cos\varphi= -\frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ sin\varphi=-\frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ czyli \varphi= \frac{3}{4}\pi}\)
\(\displaystyle{ (-2-2i) ^{37}=|z| ^{37}(cos 37 \cdot \frac{3}{4}\pi + isin\varphi37 \cdot \frac{3}{4}\pi)}\)
czy tak?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 24 wrz 2009, o 19:39

\(\displaystyle{ |z| ^{37} =(2 \sqrt{2}) ^{37}}\)
No to mamy jedną sprawę z glowy. Policz to.Jestes pewna, że wyliczony kąt jest dobry?

groupies · Post autor: **groupies** » 24 wrz 2009, o 19:58

Myślałam, że skoro to 4 ćwiartka to będzie
\(\displaystyle{ \varphi=2\pi- \frac{\pi}{4}= \frac{7\pi}{4}}\) ?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 24 wrz 2009, o 20:01

Napisalem w 4? Mała pomylka. W trzeciej cwiartce jest nasza liczba zespolona. Sorry za błąd
Mamy sinus i cosinus ujemny przeciez, nie? Teraz juz kat chyba wyznaczysz...reszta zadan analogicznie.

groupies · Post autor: **groupies** » 24 wrz 2009, o 20:22

Czyli \(\displaystyle{ \frac{5\pi}{4}}\) ? mam nadzieję, że tak

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 24 wrz 2009, o 20:23

Bingo. Teraz jest ok

groupies · Post autor: **groupies** » 24 wrz 2009, o 20:25

wielkie dzięki