Rachunki na liczbach zespolonych

kamilg89 · Post autor: **kamilg89** » 20 wrz 2009, o 17:47

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{\frac{2+i}{1-2i}}}\)
Mam obliczyć coś takiego i wszystko idzie ale do pewnego momentu...
Sprowadzam na początku \(\displaystyle{ 2+i}\) do postaci trygonometrycznej i tu pojawia się kłopot ponieważ wychodzi mi coś takiego: \(\displaystyle{ \cos\varphi=\frac{2}{\sqrt{5}}}\)
i \(\displaystyle{ \sin\varphi=\frac{1}{\sqrt{5}}}\)
i teraz mam problem z wyznaczeniem \(\displaystyle{ \varphi}\).
Na ćwiczeniach był na to sposób związany z kołem trygonometrycznym. Czy ktoś mógłby to jakoś wytłumaczyć, bo szukałem wszędzie i nic.. z góry dziękuje.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 20 wrz 2009, o 17:49

\(\displaystyle{ \frac{2+i}{1-2i}= \frac{2+i}{1-2i} \cdot \frac{1+2i}{1+2i}}\)
Wymnoz i bedzie o wiele łatwiej.

kamilg89 · Post autor: **kamilg89** » 20 wrz 2009, o 18:08

ok wymnożyłem ale dalej nie wiem co z tym zrobić...chyba, że źle mnożę;/

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 20 wrz 2009, o 18:09

Pokaz jak mnozysz to znajdziemy blad.
\(\displaystyle{ i^{2}=-1}\)

kamilg89 · Post autor: **kamilg89** » 20 wrz 2009, o 18:18

Wyszło mi z mnożenia \(\displaystyle{ \frac{2+5i+2i^{2}}{1-4i^{2}}}\), a po podstawieniu \(\displaystyle{ i^{2}=-1}\) zostaje mi samo \(\displaystyle{ \sqrt[3]{i}}\). Dobrze myślę, że tak ma wyjść? Co mam dalej robić?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 20 wrz 2009, o 18:21

Dobrze myslisz. Teraz przedstaw liczbe \(\displaystyle{ i}\) w postaci trygonometrycznej

kamilg89 · Post autor: **kamilg89** » 20 wrz 2009, o 18:29

Czyli \(\displaystyle{ \sqrt[3]{i}}\) w postaci trygonometrycznej to jest \(\displaystyle{ i\sin \frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2}}\). Teraz wstawiam to do wzoru Moivre'a?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 20 wrz 2009, o 18:31

Jest spoko. Tak skorzystaj z tego wzoru. Tylko interesuje Cie wzor na pierwiastek k-tego stopnia. Pamietaj

kamilg89 · Post autor: **kamilg89** » 20 wrz 2009, o 18:50

ehh teraz mam znowu problem przy tym wzorze;/ ile mam mieć rozwiązań?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 20 wrz 2009, o 18:53

\(\displaystyle{ n=3}\)
więc
\(\displaystyle{ k=0,1,2}\)

Będą trzy pierwiastki

kamilg89 · Post autor: **kamilg89** » 20 wrz 2009, o 19:09

ok dzieki wielkie:D Mam jeszcze jedno pytania a co z tym kołem trygonometrycznym bo nie daje mi to spokoju;>

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 20 wrz 2009, o 19:10

Zerknij na link i zobaczysz odpowiedz na swoje pytanie