Wielomian zespolony - dziwne (mylne?) zjawisko

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Kosmita
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 1 wrz 2009, o 15:55
Płeć: Mężczyzna

Wielomian zespolony - dziwne (mylne?) zjawisko

Post autor: Kosmita »

Mam zadanie:
"Rozłożyć na czynniki wielomian w ciele liczb rzeczywistych i zespolonych: \(\displaystyle{ W_{5}(z)= z^{5}-z^{3}-6z}\)."

Przy normalnym liczeniu wychodzi \(\displaystyle{ W_{5}(z)=z(z-i \sqrt{2})(z+i \sqrt{2})(z- \sqrt{5})(z+ \sqrt{5})}\).

Teraz pamiętam z LO schemat Hornera liczę i wychodzi coś takiego:
1. \(\displaystyle{ W_{5}(z)=z(z- \sqrt{3})(z+ \sqrt{3})(z ^{2}- \sqrt{3}z+2)}\)
Teoretycznie wszystko się zgadza, więc liczę dalej:

2. \(\displaystyle{ delta=b ^{2}-4ac=3-4 \cdot 1 \cdot 2= -5=i ^{2} \cdot 5 ; \sqrt{delta} = \sqrt{i ^{2} \cdot 5 }=i \sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ z _{1}= \frac{ \sqrt{3}-i \sqrt{5} }{2}}\)
\(\displaystyle{ z _{2}= \frac{ \sqrt{3}+i \sqrt{5} }{2}}\)
Teoretycznie chyba wszystko jest zgodne z zasadami, więc otrzymuję:
\(\displaystyle{ W_{5}(z)= z(z- \sqrt{3})(z+ \sqrt{3})(z- \frac{ \sqrt{3}-i \sqrt{5} }{2})(z- \frac{ \sqrt{3}+i \sqrt{5} }{2})}\)

Niech mi ktoś wytknie błędy albo chociaż udowodni, że drugi sposób jest prawidłowy...
Ostatnio zmieniony 15 wrz 2009, o 18:55 przez Kosmita, łącznie zmieniany 1 raz.
miodzio1988

Wielomian zespolony - dziwne (mylne?) zjawisko

Post autor: miodzio1988 »

Teraz pamiętam z LO schemat Hornera liczę i wychodzi coś takiego:
Daj dowod na to, że ten schemat dziala rowniez w ciele liczb zespolonych;]
Jesli potrafisz to udowodnic...
frej

Wielomian zespolony - dziwne (mylne?) zjawisko

Post autor: frej »

Horner oczywiście też działa w \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\). Pierwsze jest złe, bo niby jakim cudem \(\displaystyle{ \pm \sqrt{5}}\) ma być pierwiastkiem?
miodzio1988

Wielomian zespolony - dziwne (mylne?) zjawisko

Post autor: miodzio1988 »

Horner oczywiście też działa
w \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\)
A ja chętnie zobaczą dowod na to. Ogolnie nigdy nie widzialem dowodu na ten schemat tylko korzystalem z niego jak małpa wiec chętnie to zobaczę

Już wiem
Przepraszam za blad.
ODPOWIEDZ