Takie zadanie
\(\displaystyle{ Arg( \frac{z+2+j}{z+j} ) = \frac{3\pi}{2}}\)
rozkładam ze wzoru
\(\displaystyle{ Arg(z+2+j) - Arg(z+j) +2k\pi= \frac{3\pi}{2}}\)
i dalej nie za bardzo wiem jak to ugryźć..
Z góry dzięki za nakierowanie na rozwiązanie.
Naszkicować zbiór
-
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Naszkicować zbiór
Po pierwsze podstaw
\(\displaystyle{ w=z+j}\)
i badaj
\(\displaystyle{ W=\left\{w: \mbox{Arg}(w+2)-\mbox{Arg}(w)=-\frac\pi 2\right\}}\).
następnie przesuń ten zbiór o \(\displaystyle{ -j}\).
Zbiór \(\displaystyle{ W}\) to dolna połówka okręgu o środku w punkcie \(\displaystyle{ -1}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1}\), czyli \(\displaystyle{ W=\{w\in\mathbb{C}:\mbox{Im}(w)<0 \wedge |w+1|=1\}}\).
Odpowiedzią jest więc otwarty półokrąg:
\(\displaystyle{ \{z\in\mathbb{C}:\mbox{Im}(z+j)<0\wedge |z+j+1|=1\}}\).
Najłatwiej to na rysunku zobaczyć:
(Rysunek nie udał się.)
\(\displaystyle{ w=z+j}\)
i badaj
\(\displaystyle{ W=\left\{w: \mbox{Arg}(w+2)-\mbox{Arg}(w)=-\frac\pi 2\right\}}\).
następnie przesuń ten zbiór o \(\displaystyle{ -j}\).
Zbiór \(\displaystyle{ W}\) to dolna połówka okręgu o środku w punkcie \(\displaystyle{ -1}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1}\), czyli \(\displaystyle{ W=\{w\in\mathbb{C}:\mbox{Im}(w)<0 \wedge |w+1|=1\}}\).
Odpowiedzią jest więc otwarty półokrąg:
\(\displaystyle{ \{z\in\mathbb{C}:\mbox{Im}(z+j)<0\wedge |z+j+1|=1\}}\).
Najłatwiej to na rysunku zobaczyć:
(Rysunek nie udał się.)
Ostatnio zmieniony 11 wrz 2009, o 19:56 przez xiikzodz, łącznie zmieniany 2 razy.
Naszkicować zbiór
Tylko jak to się nagle stało, że \(\displaystyle{ W}\) nagle nam przeszło w Im i równanie zespolone okręgu?
-
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Naszkicować zbiór
Po pierwsze żaden punkt zbioru W nie może leżeć w górnej półpłaszczyźnie, ani na osi rzeczywistej - to powinno być jasne.
A że to jest dolna część okręgu o środku w \(\displaystyle{ -1}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1}\), to łatwo na rysunku zobaczyć.
Mamy:
\(\displaystyle{ D=C+2}\)
podobnie
\(\displaystyle{ A=B+2}\)
więc czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) jest równoległobokiem. Zatem mamy równość tych kątów zaznaczonych. Jeden z tych kątów jest oparty na średnicy, więc prosty, zatem drugi też. A to oznacza właśnie, że \(\displaystyle{ \mbox{Arg}(C)-\mbox{Arg}(D)=-\frac \pi 2}\)