Naszkicować zbiór

[zewlak]

Takie zadanie

\(\displaystyle{ Arg( \frac{z+2+j}{z+j} ) = \frac{3\pi}{2}}\)

rozkładam ze wzoru

\(\displaystyle{ Arg(z+2+j) - Arg(z+j) +2k\pi= \frac{3\pi}{2}}\)
i dalej nie za bardzo wiem jak to ugryźć..

Z góry dzięki za nakierowanie na rozwiązanie.

[xiikzodz]

Po pierwsze podstaw

\(\displaystyle{ w=z+j}\)

i badaj

\(\displaystyle{ W=\left\{w: \mbox{Arg}(w+2)-\mbox{Arg}(w)=-\frac\pi 2\right\}}\).

następnie przesuń ten zbiór o \(\displaystyle{ -j}\).

Zbiór \(\displaystyle{ W}\) to dolna połówka okręgu o środku w punkcie \(\displaystyle{ -1}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1}\), czyli \(\displaystyle{ W=\{w\in\mathbb{C}:\mbox{Im}(w)<0 \wedge |w+1|=1\}}\).

Odpowiedzią jest więc otwarty półokrąg:

\(\displaystyle{ \{z\in\mathbb{C}:\mbox{Im}(z+j)<0\wedge |z+j+1|=1\}}\).

Najłatwiej to na rysunku zobaczyć:

(Rysunek nie udał się.)

[zewlak]

Tylko jak to się nagle stało, że \(\displaystyle{ W}\) nagle nam przeszło w Im i równanie zespolone okręgu?

[xiikzodz]

Po pierwsze żaden punkt zbioru W nie może leżeć w górnej półpłaszczyźnie, ani na osi rzeczywistej - to powinno być jasne.

A że to jest dolna część okręgu o środku w \(\displaystyle{ -1}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1}\), to łatwo na rysunku zobaczyć.

Mamy:

\(\displaystyle{ D=C+2}\)

podobnie

\(\displaystyle{ A=B+2}\)

więc czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) jest równoległobokiem. Zatem mamy równość tych kątów zaznaczonych. Jeden z tych kątów jest oparty na średnicy, więc prosty, zatem drugi też. A to oznacza właśnie, że \(\displaystyle{ \mbox{Arg}(C)-\mbox{Arg}(D)=-\frac \pi 2}\)