Sprowadzić liczbę zespoloną do postaci trygonometrycznej
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 22 paź 2008, o 23:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
Sprowadzić liczbę zespoloną do postaci trygonometrycznej
Właśnie ćwiczę sobie rozwiązywanie zadań z algebry do poprawkowego, gdy natrafiłem na zadanie 1.9 przykład d w książce Skoczylasa i Jurlewicza z przykładami i zadaniami.
Treść zadania: Zapisz podaną liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej.
Liczba:
\(\displaystyle{ sin \alpha + i cos \alpha}\)
Wszystko ładnie pięknie, \(\displaystyle{ \left| z \right| =1}\), jednak krok kolejny i uzyskuję coś takiego:
\(\displaystyle{ sin \alpha = cos \alpha}\)
oraz
\(\displaystyle{ cos \alpha = sin \alpha}\)
i w tym momencie zgłupiałem, gdyż wynik w książce to:
\(\displaystyle{ 1(cos (\frac{ \Pi}{2} - \alpha) + i sin (\frac{\Pi}{2} - \alpha ))}\)
Mógłby mi ktoś prostymi słowami wytłumaczyć lamerowi matematycznemu skąd to się wzięło?
Dlaczego w tym jakby nie patrzeć trywialnym zadaniu uzyskujemy właśnie taki a nie inny wynik?
Edit
Zamiast skopiować, to wyciąłem wynik...
Treść zadania: Zapisz podaną liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej.
Liczba:
\(\displaystyle{ sin \alpha + i cos \alpha}\)
Wszystko ładnie pięknie, \(\displaystyle{ \left| z \right| =1}\), jednak krok kolejny i uzyskuję coś takiego:
\(\displaystyle{ sin \alpha = cos \alpha}\)
oraz
\(\displaystyle{ cos \alpha = sin \alpha}\)
i w tym momencie zgłupiałem, gdyż wynik w książce to:
\(\displaystyle{ 1(cos (\frac{ \Pi}{2} - \alpha) + i sin (\frac{\Pi}{2} - \alpha ))}\)
Mógłby mi ktoś prostymi słowami wytłumaczyć lamerowi matematycznemu skąd to się wzięło?
Dlaczego w tym jakby nie patrzeć trywialnym zadaniu uzyskujemy właśnie taki a nie inny wynik?
Edit
Zamiast skopiować, to wyciąłem wynik...
Ostatnio zmieniony 5 wrz 2009, o 16:22 przez Quirel, łącznie zmieniany 2 razy.
Sprowadzić liczbę zespoloną do postaci trygonometrycznej
Zerknij do tablic matematycznych i zobacz ile ten cosinus i sinus wynosi
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 22 paź 2008, o 23:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
Sprowadzić liczbę zespoloną do postaci trygonometrycznej
Zapomniałem dodać, iż dotyczy to przedziału:
\(\displaystyle{ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}}\)
Natomiast jeśli chodzi o wartość to funkcje te mają tą samą wartość w \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}}\)
Natomiast jeśli chodzi o wartość to funkcje te mają tą samą wartość w \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\)
Sprowadzić liczbę zespoloną do postaci trygonometrycznej
A jaką ma wartość? I zobacz czy po wstawieniu tej wartości mamy to samo.
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 22 paź 2008, o 23:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
Sprowadzić liczbę zespoloną do postaci trygonometrycznej
Wartość to \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
- czeslaw
- Użytkownik
- Posty: 2156
- Rejestracja: 5 paź 2008, o 22:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Politechnika Wrocławska
- Podziękował: 44 razy
- Pomógł: 317 razy
Sprowadzić liczbę zespoloną do postaci trygonometrycznej
No szczerze mówiąc skłaniałbym się ku odpowiedzi, że prawidłowy wynik to byłoby \(\displaystyle{ \cos \alpha + i \sin \alpha}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 22 paź 2008, o 23:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
Sprowadzić liczbę zespoloną do postaci trygonometrycznej
czeslaw, ja również, jednak w książce gdzie jest podobny przykład również wynik jest inny niż bym się spodziewał. Niestety nie ma tam wyjaśnienia, dlaczego tak.
Z tego, co ja widzę wykorzystane tu zostały wzory redukcyjne, ale po co? Dlaczego? Pojęcia nie mam. Naprawdę nie wiem, co ma na celu taki zabieg, dlatego proszę o wyjaśnienie tegoż zadania.
Z tego, co ja widzę wykorzystane tu zostały wzory redukcyjne, ale po co? Dlaczego? Pojęcia nie mam. Naprawdę nie wiem, co ma na celu taki zabieg, dlatego proszę o wyjaśnienie tegoż zadania.
Ostatnio zmieniony 5 wrz 2009, o 16:07 przez Quirel, łącznie zmieniany 2 razy.
- czeslaw
- Użytkownik
- Posty: 2156
- Rejestracja: 5 paź 2008, o 22:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Politechnika Wrocławska
- Podziękował: 44 razy
- Pomógł: 317 razy
Sprowadzić liczbę zespoloną do postaci trygonometrycznej
W książkach naprawdę są błędy, częściej niż można by sądzić.
Wystarczy podstawić prawie dowolną wartość \(\displaystyle{ \alpha}\) (na przykład \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)) żeby zobaczyć że odpowiedź jest błędna, a postac trygonometryczna zależy od parametru \(\displaystyle{ \alpha}\), a nie jest stałą...
Wystarczy podstawić prawie dowolną wartość \(\displaystyle{ \alpha}\) (na przykład \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)) żeby zobaczyć że odpowiedź jest błędna, a postac trygonometryczna zależy od parametru \(\displaystyle{ \alpha}\), a nie jest stałą...
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 22 paź 2008, o 23:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
Sprowadzić liczbę zespoloną do postaci trygonometrycznej
Czesław, właśnie wpadłem na rozwiązanie.
Otóż wychodzi nam, iż \(\displaystyle{ cos \alpha = sin \alpha}\)
Jednak postać trygonometryczna nakazuje nam zapisanie w postaci cosinusa, sinus i cosinus to tzw. kofunkcje, mamy 1. ćwiartkę więc po prostu zapisujemy tego sinusa w postaci kofunkcji, stosując wsór redukcyjny.
Wówczas otrzymujemy iż:
\(\displaystyle{ sin \alpha = cos ( \frac{\pi}{2} - \alpha)}\)
Podobnież z sinusem:
\(\displaystyle{ cos \alpha sin ( \frac{\pi}{2} - \alpha)}\)
I pomyśleć, że siedziałem nad tym godzinę czasu....
Poprawione
Otóż wychodzi nam, iż \(\displaystyle{ cos \alpha = sin \alpha}\)
Jednak postać trygonometryczna nakazuje nam zapisanie w postaci cosinusa, sinus i cosinus to tzw. kofunkcje, mamy 1. ćwiartkę więc po prostu zapisujemy tego sinusa w postaci kofunkcji, stosując wsór redukcyjny.
Wówczas otrzymujemy iż:
\(\displaystyle{ sin \alpha = cos ( \frac{\pi}{2} - \alpha)}\)
Podobnież z sinusem:
\(\displaystyle{ cos \alpha sin ( \frac{\pi}{2} - \alpha)}\)
I pomyśleć, że siedziałem nad tym godzinę czasu....
Poprawione
Ostatnio zmieniony 5 wrz 2009, o 16:14 przez Quirel, łącznie zmieniany 1 raz.
- czeslaw
- Użytkownik
- Posty: 2156
- Rejestracja: 5 paź 2008, o 22:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Politechnika Wrocławska
- Podziękował: 44 razy
- Pomógł: 317 razy
Sprowadzić liczbę zespoloną do postaci trygonometrycznej
Źle zapisałeś, pomyliłes zmienne. \(\displaystyle{ \alpha}\) to Twój parametr. Nie wiem, skad Ci wyszlo, że \(\displaystyle{ \sin \alpha=\cos \alpha}\).
Mamy:
\(\displaystyle{ |z|=1 \\ \cos \phi = \frac{\sin \alpha}{1} = \sin \alpha \\ \sin \phi = \frac{\cos \alpha}{1} = \cos \alpha}\)
No i podstawiamy do wzoru:
\(\displaystyle{ z = |z| (\cos \phi + i \sin \phi) = \sin \alpha + i \cos \alpha}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ |z|=1 \\ \cos \phi = \frac{\sin \alpha}{1} = \sin \alpha \\ \sin \phi = \frac{\cos \alpha}{1} = \cos \alpha}\)
No i podstawiamy do wzoru:
\(\displaystyle{ z = |z| (\cos \phi + i \sin \phi) = \sin \alpha + i \cos \alpha}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 22 paź 2008, o 23:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
Sprowadzić liczbę zespoloną do postaci trygonometrycznej
No tak, ale nie możemy zapisać odpowiedzi w postaci:
\(\displaystyle{ 1(sin \alpha + i cos \alpha)}\)
Dlatego przekształcamy wg. wzorów redukcyjnych na:
\(\displaystyle{ sin \alpha = cos ( \frac{\pi}{2} - \alpha)}\)
a cosinusa:
\(\displaystyle{ cos \alpha = sin ( \frac{\pi}{2} - \alpha)}\)
Składając do kupy mamy:
\(\displaystyle{ 1(cos ( \frac{\pi}{2} - \alpha) + i sin ( \frac{\pi}{2} - \alpha))}\)
I to byłoby na tyle.
\(\displaystyle{ 1(sin \alpha + i cos \alpha)}\)
Dlatego przekształcamy wg. wzorów redukcyjnych na:
\(\displaystyle{ sin \alpha = cos ( \frac{\pi}{2} - \alpha)}\)
a cosinusa:
\(\displaystyle{ cos \alpha = sin ( \frac{\pi}{2} - \alpha)}\)
Składając do kupy mamy:
\(\displaystyle{ 1(cos ( \frac{\pi}{2} - \alpha) + i sin ( \frac{\pi}{2} - \alpha))}\)
I to byłoby na tyle.
- czeslaw
- Użytkownik
- Posty: 2156
- Rejestracja: 5 paź 2008, o 22:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Politechnika Wrocławska
- Podziękował: 44 razy
- Pomógł: 317 razy
Sprowadzić liczbę zespoloną do postaci trygonometrycznej
Nie no, jasne - skomplikować zapis zawsze można. Ale wynik jest ten sam, obojętnie czy skorzystasz ze wzorów redukcyjnych, czy jakichkolwiek innych (o ile zrobisz to poprawnie).
Natomiast Twój wynik (który jest taką samą liczbą jak mój wynik) nie zgadza się zupełnie z tym, co napisałeś w pierwszym poście. Ściślej mówiąc, zgadza się tylko dla konkretnej wartości \(\displaystyle{ \alpha = \frac{2 \pi}{3}}\), a nic o tym nie wspominasz.
Ahaaaaa, zedytowany post i wszystko jasne... No to trzeba było mówić że chodzi o wzory redukcyjne, a nie o to że wynik jest stały dla każdej wartości \(\displaystyle{ \alpha}\) ... Ehh, najważniejsze że doszedłeś do wyprowadzenia wyniku.
Natomiast Twój wynik (który jest taką samą liczbą jak mój wynik) nie zgadza się zupełnie z tym, co napisałeś w pierwszym poście. Ściślej mówiąc, zgadza się tylko dla konkretnej wartości \(\displaystyle{ \alpha = \frac{2 \pi}{3}}\), a nic o tym nie wspominasz.
Ahaaaaa, zedytowany post i wszystko jasne... No to trzeba było mówić że chodzi o wzory redukcyjne, a nie o to że wynik jest stały dla każdej wartości \(\displaystyle{ \alpha}\) ... Ehh, najważniejsze że doszedłeś do wyprowadzenia wyniku.
Ostatnio zmieniony 5 wrz 2009, o 16:25 przez czeslaw, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 22 paź 2008, o 23:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
Sprowadzić liczbę zespoloną do postaci trygonometrycznej
Napisałem wyżej, w 1. poście, małą czcionką iż pomyliłem się przy kopiowaniu wyniku, a potem przepisałem z błędem. Dlatego przepraszam za prowadzenie w błąd.
- czeslaw
- Użytkownik
- Posty: 2156
- Rejestracja: 5 paź 2008, o 22:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Politechnika Wrocławska
- Podziękował: 44 razy
- Pomógł: 317 razy
Sprowadzić liczbę zespoloną do postaci trygonometrycznej
Dodam jeszcze, ze zapisanie wyniku w postaci \(\displaystyle{ z = \cos \alpha + i \sin \alpha}\) jest maksymalnie poprawne. Nie wiem po co sobie komplikować życie wzorami redukcyjnymi.