Sprowadzić liczbę zespoloną do postaci trygonometrycznej

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Quirel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 22 paź 2008, o 23:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz

Sprowadzić liczbę zespoloną do postaci trygonometrycznej

Post autor: Quirel »

Właśnie ćwiczę sobie rozwiązywanie zadań z algebry do poprawkowego, gdy natrafiłem na zadanie 1.9 przykład d w książce Skoczylasa i Jurlewicza z przykładami i zadaniami.
Treść zadania: Zapisz podaną liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej.
Liczba:
\(\displaystyle{ sin \alpha + i cos \alpha}\)
Wszystko ładnie pięknie, \(\displaystyle{ \left| z \right| =1}\), jednak krok kolejny i uzyskuję coś takiego:
\(\displaystyle{ sin \alpha = cos \alpha}\)
oraz
\(\displaystyle{ cos \alpha = sin \alpha}\)
i w tym momencie zgłupiałem, gdyż wynik w książce to:
\(\displaystyle{ 1(cos (\frac{ \Pi}{2} - \alpha) + i sin (\frac{\Pi}{2} - \alpha ))}\)
Mógłby mi ktoś prostymi słowami wytłumaczyć lamerowi matematycznemu skąd to się wzięło?
Dlaczego w tym jakby nie patrzeć trywialnym zadaniu uzyskujemy właśnie taki a nie inny wynik?

Edit
Zamiast skopiować, to wyciąłem wynik...
Ostatnio zmieniony 5 wrz 2009, o 16:22 przez Quirel, łącznie zmieniany 2 razy.
miodzio1988

Sprowadzić liczbę zespoloną do postaci trygonometrycznej

Post autor: miodzio1988 »

Zerknij do tablic matematycznych i zobacz ile ten cosinus i sinus wynosi
Quirel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 22 paź 2008, o 23:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz

Sprowadzić liczbę zespoloną do postaci trygonometrycznej

Post autor: Quirel »

Zapomniałem dodać, iż dotyczy to przedziału:
\(\displaystyle{ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}}\)
Natomiast jeśli chodzi o wartość to funkcje te mają tą samą wartość w \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\)
miodzio1988

Sprowadzić liczbę zespoloną do postaci trygonometrycznej

Post autor: miodzio1988 »

A jaką ma wartość? I zobacz czy po wstawieniu tej wartości mamy to samo.
Quirel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 22 paź 2008, o 23:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz

Sprowadzić liczbę zespoloną do postaci trygonometrycznej

Post autor: Quirel »

Wartość to \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
Awatar użytkownika
czeslaw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2156
Rejestracja: 5 paź 2008, o 22:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Politechnika Wrocławska
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 317 razy

Sprowadzić liczbę zespoloną do postaci trygonometrycznej

Post autor: czeslaw »

No szczerze mówiąc skłaniałbym się ku odpowiedzi, że prawidłowy wynik to byłoby \(\displaystyle{ \cos \alpha + i \sin \alpha}\)
Quirel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 22 paź 2008, o 23:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz

Sprowadzić liczbę zespoloną do postaci trygonometrycznej

Post autor: Quirel »

czeslaw, ja również, jednak w książce gdzie jest podobny przykład również wynik jest inny niż bym się spodziewał. Niestety nie ma tam wyjaśnienia, dlaczego tak.
Z tego, co ja widzę wykorzystane tu zostały wzory redukcyjne, ale po co? Dlaczego? Pojęcia nie mam. Naprawdę nie wiem, co ma na celu taki zabieg, dlatego proszę o wyjaśnienie tegoż zadania.
Ostatnio zmieniony 5 wrz 2009, o 16:07 przez Quirel, łącznie zmieniany 2 razy.
Awatar użytkownika
czeslaw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2156
Rejestracja: 5 paź 2008, o 22:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Politechnika Wrocławska
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 317 razy

Sprowadzić liczbę zespoloną do postaci trygonometrycznej

Post autor: czeslaw »

W książkach naprawdę są błędy, częściej niż można by sądzić.
Wystarczy podstawić prawie dowolną wartość \(\displaystyle{ \alpha}\) (na przykład \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)) żeby zobaczyć że odpowiedź jest błędna, a postac trygonometryczna zależy od parametru \(\displaystyle{ \alpha}\), a nie jest stałą...
Quirel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 22 paź 2008, o 23:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz

Sprowadzić liczbę zespoloną do postaci trygonometrycznej

Post autor: Quirel »

Czesław, właśnie wpadłem na rozwiązanie.
Otóż wychodzi nam, iż \(\displaystyle{ cos \alpha = sin \alpha}\)
Jednak postać trygonometryczna nakazuje nam zapisanie w postaci cosinusa, sinus i cosinus to tzw. kofunkcje, mamy 1. ćwiartkę więc po prostu zapisujemy tego sinusa w postaci kofunkcji, stosując wsór redukcyjny.
Wówczas otrzymujemy iż:
\(\displaystyle{ sin \alpha = cos ( \frac{\pi}{2} - \alpha)}\)
Podobnież z sinusem:
\(\displaystyle{ cos \alpha sin ( \frac{\pi}{2} - \alpha)}\)

I pomyśleć, że siedziałem nad tym godzinę czasu....

Poprawione
Ostatnio zmieniony 5 wrz 2009, o 16:14 przez Quirel, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
czeslaw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2156
Rejestracja: 5 paź 2008, o 22:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Politechnika Wrocławska
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 317 razy

Sprowadzić liczbę zespoloną do postaci trygonometrycznej

Post autor: czeslaw »

Źle zapisałeś, pomyliłes zmienne. \(\displaystyle{ \alpha}\) to Twój parametr. Nie wiem, skad Ci wyszlo, że \(\displaystyle{ \sin \alpha=\cos \alpha}\).
Mamy:
\(\displaystyle{ |z|=1 \\ \cos \phi = \frac{\sin \alpha}{1} = \sin \alpha \\ \sin \phi = \frac{\cos \alpha}{1} = \cos \alpha}\)
No i podstawiamy do wzoru:
\(\displaystyle{ z = |z| (\cos \phi + i \sin \phi) = \sin \alpha + i \cos \alpha}\)
Quirel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 22 paź 2008, o 23:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz

Sprowadzić liczbę zespoloną do postaci trygonometrycznej

Post autor: Quirel »

No tak, ale nie możemy zapisać odpowiedzi w postaci:
\(\displaystyle{ 1(sin \alpha + i cos \alpha)}\)
Dlatego przekształcamy wg. wzorów redukcyjnych na:
\(\displaystyle{ sin \alpha = cos ( \frac{\pi}{2} - \alpha)}\)
a cosinusa:
\(\displaystyle{ cos \alpha = sin ( \frac{\pi}{2} - \alpha)}\)
Składając do kupy mamy:
\(\displaystyle{ 1(cos ( \frac{\pi}{2} - \alpha) + i sin ( \frac{\pi}{2} - \alpha))}\)

I to byłoby na tyle.
Awatar użytkownika
czeslaw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2156
Rejestracja: 5 paź 2008, o 22:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Politechnika Wrocławska
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 317 razy

Sprowadzić liczbę zespoloną do postaci trygonometrycznej

Post autor: czeslaw »

Nie no, jasne - skomplikować zapis zawsze można. Ale wynik jest ten sam, obojętnie czy skorzystasz ze wzorów redukcyjnych, czy jakichkolwiek innych (o ile zrobisz to poprawnie).

Natomiast Twój wynik (który jest taką samą liczbą jak mój wynik) nie zgadza się zupełnie z tym, co napisałeś w pierwszym poście. Ściślej mówiąc, zgadza się tylko dla konkretnej wartości \(\displaystyle{ \alpha = \frac{2 \pi}{3}}\), a nic o tym nie wspominasz.

Ahaaaaa, zedytowany post i wszystko jasne... No to trzeba było mówić że chodzi o wzory redukcyjne, a nie o to że wynik jest stały dla każdej wartości \(\displaystyle{ \alpha}\) ... Ehh, najważniejsze że doszedłeś do wyprowadzenia wyniku.
Ostatnio zmieniony 5 wrz 2009, o 16:25 przez czeslaw, łącznie zmieniany 1 raz.
Quirel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 22 paź 2008, o 23:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz

Sprowadzić liczbę zespoloną do postaci trygonometrycznej

Post autor: Quirel »

Napisałem wyżej, w 1. poście, małą czcionką iż pomyliłem się przy kopiowaniu wyniku, a potem przepisałem z błędem. Dlatego przepraszam za prowadzenie w błąd.
Awatar użytkownika
czeslaw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2156
Rejestracja: 5 paź 2008, o 22:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Politechnika Wrocławska
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 317 razy

Sprowadzić liczbę zespoloną do postaci trygonometrycznej

Post autor: czeslaw »

Dodam jeszcze, ze zapisanie wyniku w postaci \(\displaystyle{ z = \cos \alpha + i \sin \alpha}\) jest maksymalnie poprawne. Nie wiem po co sobie komplikować życie wzorami redukcyjnymi.
ODPOWIEDZ