1. Proszę znaleźć na płaszczyźnie zespolonej wierzchołki kwadratu którego przekątną jest odcinek z1, z2
2. Dla danych 2 wierzchołków trójkąta równobocznego znaleźć 3 wierzchołek. Ile rozwiązań ma zadanie?
3. Niech z1 będzie liczbą zespoloną o cześci urojonej różej od o, z2 zaś dowolną liczbą zespoloną. Proszę udowodnić że trójkąt o wierzchołkach 0,1,z1 jest podobny do trójkąta o wierzchołkach 0, z2,z1*z2
Co do drugiego zadania to znalazłem na tym forum takie coś: 135634.htm gdzie pisze żeby pomnożyć przez \(\displaystyle{ \frac{1+i \sqrt{3} }{2}}\), z góry przepraszam że piszę to zadanie jeszcze raz, ale stwierdziłem że tutaj prędzej uzyskam odpowiedź w nowym wątku. Więc w jaki sposób można taki obrót zapisać? Rozumiem że ogólnie wynika to z tego że sinus i cosinusow \(\displaystyle{ \frac{pi}{2}}\) są równe odpowiednio \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2}}\) a jak mówi mądre twierdzenie przy mnożeniu liczb zespolonych mnożymi r i dodajemy kąty fi, w tym przypadku bierzemy neutralne r czyli r=1 tak? Wiem że to może banalne, ale chcę być pewien że dobrze to zrozumiałem. Tylko przez co tą wartość pomnożyć przez sumę z1+z2, przez różnicę z1-z2?
Rozrysowałem sobie to:
I wychodzi że podanym bokiem jest bok z2-z1, no ale z tego co wiem to ten odcinek zaczyna się tak naprawdę w początku układu współrzędnych a nie w tym miejscu którym jest teraz narysowany i trzeba go przenieść na początek, pewnie coś mówię bez sensu, więc proszę o pomoc jaką liczbę trzeba pomnożyć przez \(\displaystyle{ \frac{1+i \sqrt{3} }{2}}\)...
Co do ilości rozwiązań to zdaje się że bedą dwie liczba z3 i liczba sprzężona z nią, bo można obrócić w drugą stronę, czy dobrze myślę?
Drugie rozrysowałem sobie tak, nie jestem pewien czy dobrze, ale jeśli tak to:
jeśli \(\displaystyle{ z_1 = x_1+iy_1}\) i \(\displaystyle{ z_2 = x_2+iy_2}\) to
\(\displaystyle{ z_3 = x_2+iy_1}\) oraz \(\displaystyle{ z_4 = x_1+iy_2}\)
nie wiem czy dobrze myślę, ale tak to wygląda z rysunku...
Co do trzeciego próbowałem sobie to rozrysować, ale chyba jakoś źle to robię... Próbowałem też dzielić obwody obu trójkątów ale to chyba zły pomysł