Obliczyć pierwiastki liczby zespolonej

m45turbo · Post autor: **m45turbo** » 1 kwie 2006, o 00:38

Czy mógłby ktoś rzucić okiem na następujące zadanko(trzeba obliczyć):
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{\frac{-9j+7}{j-1}\;|\,2\,(cos(\frac{-5\pi}{13})+jsin\frac{5\pi}{13})\,|-jIm(2j-3,5)}\)
Wiem, że jIm(2j-3,5)=2j, próbowałem zamieniać poszczególne składniki pod pierwiastkiem na postaci trygonometryczne, ewentualnie wykładnicze, ale za cienki jestem w uszach i nic mi nie wychodziło. Nie wiem przede wszystkim co zrobić z -9j+7. Gdyby ktoś mógłby krok po kroku uprościć wyrażenie pod pierwiastkiem, to byłoby super. Dalej chyba potrafiłbym obliczyć.
PS. Mam nadzieję, że wszystko jest czytelne, to mój pierwszy raz z TeXem ;p

apdejt: teraz wpadłem na to, żeby zamienić ułamek \(\displaystyle{ \frac{-9j+7}{j-1}}\) na j-8. Próbowałem dalej zamienić \(\displaystyle{ 2\,(cos(\frac{-5\pi}{13})+jsin\frac{5\pi}{13})=2e^{\frac{5\pi}{13}j}\). Teraz nie wiem co z tym zrobić dalej.
apdejt2: czy z definicji modułu liczby zespolonej i postaci trygonometrycznej nie wynika przypadkiem, że \(\displaystyle{ |\,2\,(cos(\frac{-5\pi}{13})+jsin\frac{5\pi}{13})\,|=2}\) ?

Fibik · Post autor: **Fibik** » 1 kwie 2006, o 18:28

\(\displaystyle{ z = \frac{-9j+7}{j-1}\;|\,2\,(cos(\frac{-5\pi}{13})+jsin\frac{5\pi}{13})\,|-jIm(2j-3,5)}\)
\(\displaystyle{ Im(2j-3.5) = 2}\)
\(\displaystyle{ |cos(\frac{-5\pi}{13}) + jsin(\frac{5\pi}{13})| = 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{-9j+7}{j-1} = \frac{7-9j}{-1+j}\cdot \frac{-1-j}{-1-j} = \frac{(7-9j)(1+j)}{-1-1} = \frac{7+9 + 7j-9j}{-2} = \frac{16 - 2j}{-2} = -8+j}\)
otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \large z =(-8+j)2-2j = -16 = 16e^{j\pi} = 16e^{(2k+1)j\pi}}\)

Teraz pierwiastek z z wg wzoru:
\(\displaystyle{ \large \sqrt[4]{z} = z^{1/4} = 2\cdot e^{(2k+1)j\pi/4},\ k = 0,1,2,3}\)

m45turbo · Post autor: **m45turbo** » 1 kwie 2006, o 22:00

Ok, dzięki za pomoc - jest tak jak przypuszczałem :> Dalej już sobie poradzę.
Mam jednak kolejny problem: identyczny typ zadania:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{j\,(\,\frac{11j-8}{2j+1}\;+\;Im(2,8j+7)\,)\;|\,5\,(cos(\frac{8\pi}{7})+jsin\frac{22\pi}{7})\,|}}\)
dochodzę do punktu, w którym otrzymuję (o ile dobrze liczę):
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{28j-27}}\)
i nie za bardzo wiem, jak policzyć pierwiastki.

Rogal · Post autor: **Rogal** » 5 kwie 2006, o 23:18

Najlepiej z postaci trygonometrycznej korzystając, bądź wykładniczej.

m45turbo · Post autor: **m45turbo** » 6 kwie 2006, o 10:35

a mógłbyś mi powiedzieć, jak wyznaczyć kąt, którego cosinus wynosi (tak po policzeniu na szybko) \(\displaystyle{ -\frac{27}{sqrt{1513}}\), a sinus \(\displaystyle{ \frac{28}{sqrt{1513}}\)? Bo ja prawdę mówiąc nie umiem.
Aha, z tego co wiem (i po przeliczeniu) w zadaniu jest błąd - część urojona podanej liczby powinna być odjęta.

Rogal · Post autor: **Rogal** » 6 kwie 2006, o 13:39

Wiesz, że jest z drugiej ćwiartki, policz tangens tego kąta i odczytaj z tablic przybliżenie.

m45turbo · Post autor: **m45turbo** » 6 kwie 2006, o 22:32

No spoko, mogę to zrobić też przy pomocy kalkulatora naukowego. Tylko że ja nie chcę przybliżeń, chcę dokładną miarę w radianach/stopniach. No nic, dzięki za pomoc - jak już powiedzialem w zadaniu był błąd i po poprawce liczy się bez problemu;]