witam
mam problem z takim zadaniem A= \(\displaystyle{ \left( \right) z \in C:z ^{4} =- \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2} i \left( \right)}\)i niewiem zabardzo czy mam to najpierw przedstawić w postaci trygonometrycznej czy pierwiastek z tego robić czy może da się to jakoś szybko zrobić? jeśli ktoś miałby pomysł byłbym wdzięczny za podpowiedź:)
zbiory na płaszczyźnie zespolonej
-
soku11
- Użytkownik
- Posty: 6607
- Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 1823 razy
zbiory na płaszczyźnie zespolonej
Jest to równanie 4-tego stopnia. Otrzymać musimy więc 4 pierwiastki. Równanie jest o tyle banalne, że wystarczy prawą stronę zamienić na postać trygonometryczną i zastosować wzór deMoivre'a. A prawa strona, to po prostu:
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}}\)
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}}\)
Pozdrawiam.
zbiory na płaszczyźnie zespolonej
zrobiłem tak jak poradziliscie i wyszło mi tak nie wiem czy dobrze dlatego byłbym wdzieczny za weryfikacje
\(\displaystyle{ z _{1} =(cos \frac{2/3pi+2pi}{4} + isin \frac{2/3pi+2pi}{4})=(- \frac{1}{2}+i \frac{ \sqrt{3} }{2})
z _{2} =(cos \frac{2/3pi+4pi}{4} + isin \frac{2/3pi+4pi}{4})=(- \frac{ \sqrt{3} }{2}- \frac{1}{2}i)
z _{3} =(cos \frac{2/3pi+6pi}{4} + isin \frac{2/3pi+6pi}{4})=(\frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2}i )
z _{0} =(cos \frac{2/3pi}{4} + isin \frac{2/3pi}{4})=( \frac{ \sqrt{3} }{2} + \frac{1}{2}i)}\)
i jak ewentualnie te zbiory mogły by wygladać
\(\displaystyle{ z _{1} =(cos \frac{2/3pi+2pi}{4} + isin \frac{2/3pi+2pi}{4})=(- \frac{1}{2}+i \frac{ \sqrt{3} }{2})
z _{2} =(cos \frac{2/3pi+4pi}{4} + isin \frac{2/3pi+4pi}{4})=(- \frac{ \sqrt{3} }{2}- \frac{1}{2}i)
z _{3} =(cos \frac{2/3pi+6pi}{4} + isin \frac{2/3pi+6pi}{4})=(\frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2}i )
z _{0} =(cos \frac{2/3pi}{4} + isin \frac{2/3pi}{4})=( \frac{ \sqrt{3} }{2} + \frac{1}{2}i)}\)
i jak ewentualnie te zbiory mogły by wygladać
-
soku11
- Użytkownik
- Posty: 6607
- Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 1823 razy
zbiory na płaszczyźnie zespolonej
Nieczytelnie to zapisałeś. Ogólny wzór na rozwiązania, to:
\(\displaystyle{ z_k=\cos \left( \frac{\frac{2\pi}{3}+2k\pi}{4} \right)+i\sin\left( \frac{\frac{2\pi}{3}+2k\pi}{4} \right),\;\; k\in\{0,1,2,3\}\\}\)
Podstawisz kolejne k i masz 4 pierwiastki. Tyle
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ z_k=\cos \left( \frac{\frac{2\pi}{3}+2k\pi}{4} \right)+i\sin\left( \frac{\frac{2\pi}{3}+2k\pi}{4} \right),\;\; k\in\{0,1,2,3\}\\}\)
Podstawisz kolejne k i masz 4 pierwiastki. Tyle
Pozdrawiam.
zbiory na płaszczyźnie zespolonej
czyli te pierwiastki z tego wzoru wyszły takie:
\(\displaystyle{ z _{1} =(cos \frac{2/3pi+2pi}{4} + isin \frac{2/3pi+2pi}{4})=(- \frac{1}{2}+i \frac{ \sqrt{3} }{2})}\)
\(\displaystyle{ z _{2} =(cos \frac{2/3pi+4pi}{4} + isin \frac{2/3pi+4pi}{4})=(- \frac{ \sqrt{3} }{2}- \frac{1}{2}i)}\)
\(\displaystyle{ z _{3} =(cos \frac{2/3pi+6pi}{4} + isin \frac{2/3pi+6pi}{4})=(\frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2}i )}\)
\(\displaystyle{ z _{0} =(cos \frac{2/3pi}{4} + isin \frac{2/3pi}{4})=( \frac{ \sqrt{3} }{2} + \frac{1}{2}i)}\)
no i teraz nie wiem za bardzo jak to narysować czy to bedą proste łączące te dwa punkty przy kazdym pierwiastku i w konsekwencji wyjdzie coś w rodzaju gwiazdki?
\(\displaystyle{ z _{1} =(cos \frac{2/3pi+2pi}{4} + isin \frac{2/3pi+2pi}{4})=(- \frac{1}{2}+i \frac{ \sqrt{3} }{2})}\)
\(\displaystyle{ z _{2} =(cos \frac{2/3pi+4pi}{4} + isin \frac{2/3pi+4pi}{4})=(- \frac{ \sqrt{3} }{2}- \frac{1}{2}i)}\)
\(\displaystyle{ z _{3} =(cos \frac{2/3pi+6pi}{4} + isin \frac{2/3pi+6pi}{4})=(\frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2}i )}\)
\(\displaystyle{ z _{0} =(cos \frac{2/3pi}{4} + isin \frac{2/3pi}{4})=( \frac{ \sqrt{3} }{2} + \frac{1}{2}i)}\)
no i teraz nie wiem za bardzo jak to narysować czy to bedą proste łączące te dwa punkty przy kazdym pierwiastku i w konsekwencji wyjdzie coś w rodzaju gwiazdki?