Równanie, liczby zespolone

[kiepson]

\(\displaystyle{ (z+1)^{3}=-4+4i}\)
Mógłby mi ktoś pomóc to rozwiązać? Próbowałem różnymi sposobami, podnosiłem do potęgi, zamieniałem z na a+bi i nic sensownego mi nie wychodzi.

[Zordon]

znajdź wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia liczby \(\displaystyle{ -4+4i}\) i potem już chyba jasne.

[Przemas O'Black]

No, ale najpierw sprowadź to do postaci trygonometrycznej, a potem podnieść do potęgi 1/3..

[kiepson]

dobra, zrobiłem tak jak pisaliście, sprowadziłem do postaci trygonometrycznej, jak możecie to sprawdźcie:
\\(\displaystyle{ \left| z\right|= \sqrt{a^{2}+b^{2}},a=4, b=4\\
z= \sqrt{32}=4 \sqrt{2} \\
cos \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{2}\\
sin \alpha \frac{ \sqrt{2} }{2}\\
czyli \alpha = \frac{\pi}{4}\\}\)
czyli postać trygonometryczn wygląda tak:
\(\displaystyle{ z= \sqrt{32}(cos \frac{\pi}{4} + isin \frac{\pi}{4})}\)


i co mam dalej zrobić?

[Przemas O'Black]

\(\displaystyle{ \alpha \neq \frac{\pi}{4}}\).

\(\displaystyle{ \alpha = \frac{3 \pi}{4}}\)

We wzorze masz wartość bezwzględną i trzeba sprawdzić, jaki kąt pasuje. Dalej korzystasz ze wzoru na potęgowanie trygonometrycznych postaci liczb zespolonych. Jeżeli chcesz podnieść do potęgi 1/3, to \(\displaystyle{ r _{2} = r_{1} ^{1/3} = 32 ^{1/6}}\). Kąt mnożysz. \(\displaystyle{ \alpha _{2} = \frac{3 \pi}{4} * 1/3}\).

[kiepson]

i na tym koniec? wybacz ale nie kumam do końca tego zadania i dlatego tak pytam

[Przemas O'Black]

1. Zamieniasz - 4 + 4i na postać trygonometryczną.
2. Otrzymaną postać trygonometryczną podnosisz do potęgi 1/3.
3. Wynik porównujesz z podstawą potęgi po lewej stronie równania.